삼각형 $ABC$의 점 $A$의 맞은 편에 있는 방접원 $\omega_a$가 직선 $AB$와 점 $P$에서 만나고 직선 $AC$와 점 $Q$에서 만나며, 점 $B$의 맞은 편에 있는 방접원 $\omega_b$는 직선 $BA$와 점 $M$에서 만나고 직선 $BC$와 점 $N$에서 만난다. 점 $C$를 직선 $MN$에 내린 수선의 발을 $K$라 하고 점 $C$를 직선 $PQ$에 내린 수선의 발을 $L$이라 하자.
이때 사각형 $MKLP$는 원에 내접함을 증명하라.
(6월 30일, 4시간 30분, 출처, 출제:불가리아)

다음 식을 만족하는 양의 정수 $x$, $y$, $z$를 모두 구하여라. \[ x^5+4^y=2013^z.\]
(6월 30일, 4시간 30분, 출처, 출제:세르비아)

양의 실수의 집합을 $S$라 하자. 모든 양의 실수 $x$, $y$, $z$, $k$에 대해 다음 세 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:S^3\to S$를 모두 구하여라.
(a) $x f(x,y,z)=zf(z,y,x)$,
(b) $f(x,yk,k^2 z)=kf(x,y,z)$,
(c) $f(1,k,k+1)=k+1$.
(6월 30일, 4시간 30분, 출처, 출제:영국)

어느 수학경시대회에 참석한 참가자 중 일부는 서로 친구라 한다. 어떤 참가자 $A$가 $B$의 친구라면 $B$ 역시 $A$의 친구라 한다. 만일 $n(\ge 3)$명의 참가자 $A_1,A_2,\ldots,A_n$에서 모든 $1\le i\le n$에 대해 $A_i$가 $A_{i+1}$의 친구가 아니고 이 $n$명 중 다른 모든 참가자쌍은 서로 친구라 할때 이 $n$명을 약한 친구 모임이라 하자. (단, $A_{n+1}=A_1$.)
마침 다음 성질이 만족된다고 하자: 모든 참가자 $C$와 $C$를 포함하지 않는 약한 친구 모임 $\mathcal P$에 대해 $\mathcal P$에 속한 참가자 중 $C$의 친구가 아닌 사람은 많아야 한 명이다.
이때 이 경시대회의 모든 참가자를 세 방에 잘 배치하되 같은 방에 있는 참가자끼리는 서로 친구가 되도록 할 수 있음을 보여라.
(6월 30일, 4시간 30분, 출처, 출제:세르비아)