2014년 5월 4일. 총 4시간 30분. 출처

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식 $xy+yz+zx=3xyz$를 만족하는 세 양의 실수 $x$, $y$, $z$가 있다. 이때 부등식 \[ x^2 y+y^2z+z^2 x\ge 2(x+y+z)-3\]을 증명하고 등호가 성립할 조건을 구하여라.

어떤 양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 \[n=\frac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}\]을 만족하는 양의 정수 $n$을 `특별한 수’라 하자.

(a) 무한히 많은 특별한 수가 있음을 증명하라.
(b) 2014는 특별한 수가 아님을 보여라.

지름이 $AB$인 원 $\Gamma$에 내접한 사다리꼴 $ABCD$이 있다. 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점을 $E$라 하자. 중심이 $B$이고 반지름이 $BE$인 원이 원 $\Gamma$와 만나는 점을 $K$, $L$이라 하자. 단, $K$는 $AB$ 기준으로 $C$와 같은 쪽에 있다고 하자. 직선 $BD$와 수직으로 점 $E$에서 만나는 직선이 $CD$와 만나는 점을 $M$이라 하자.
이때 $KM$은 $DL$과 수직으로 만난다는 것을 증명하라.

양의 정수 $n$이 주어져 있다. 한 변의 길이가 $n$인 정육각형을 한 변의 길이가 1이고 각 변이 정육각형의 변과 평행한 정삼각형들로 나눠져있다. 이때, 이 정삼각형들의 꼭지점들로 만들 수 있는 정육각형의 수를 구하여라.