제32회 Balkan Math Olympiad (BMO)
출처.
5월 5일. 총 4시간 30분
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양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음 부등식을 증명하라. \[ a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\ge abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3).\]
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외접원을 $\omega$라 하자. 직선 $AI$, $BI$, $CI$가 원 $\omega$와 다시 만나게 되는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $I$를 지나고 변 $BC$와 평행하면서 직선 $EF$와 만나는 점을 $K$, 변 $CA$와 평행하면서 직선 $FD$와 만나는 점을 $L$, 변 $AB$와 평행하면서 직선 $DE$와 만나는 점을 $M$이라 하자. 이때 점 $K$, $L$, $M$은 한 직선 위에 있음을 보여라.
총 $3366$명의 영화평론가가 오스카 영화제에 모였다. 각 평론가는 최우수 남자배우상에 한 표를, 최우수 여자배우상에 한 표를 행사한다. 그런데 투표가 끝나고 보니 모든 $1$ 이상 $100$이하인 정수 $n$에 대해, 정확히 $n$표를 받은 남배우나 여배우가 꼭 있었다. 이때, 똑같은 남배우와 여배우에 투표한 어떤 두 평론가가 존재함을 증명하라.
연속 $20$개의 양의 정수가 주어지면 그 중에 적당한 수 $d$를 잘 뽑아서, 모든 양의 정수 $n$에 대해 부등식 \[ n \sqrt{d} \{ n\sqrt{d}\} \gt \frac52 \]가 성립하도록 할 수 있음을 증명하라. 단, $\{x\}$는 $x$의 소수부, 즉 $x$에서 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것을 빼서 얻은 수를 뜻한다.