2016 발칸수학올림피아드

제33회 발칸수학올림피아드. Tirana. 2016년 5월 7일.

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모든 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 \[ \left|\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))\right| <2016\]을 만족시키는 모든 일대일함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 구하여라.

원에 내접하며 $AB<AC$인 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 만나는 점을 $F$라 한다. 직선 $AD$와 $BC$가 만나는 점을 $E$라 하자. 점 $F$를 직선 $AD$, $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $K$, $L$이라 한다. 선분 $EF$, $CF$, $DF$의 중점을 각각 $M$, $S$, $T$라 한다. 이때 삼각형 $MKT$의 외접원과 삼각형 $MLS$의 외접원의 $M$ 아닌 교점은 선분 $CD$ 위에 있음을 보여라.

최고차항의 계수가 1인 다항식 $f$ 중 다음 조건을 만족시키는 것을 모두 구하라. $N$보다 큰 모든 소수 $p$에 대해 $f(p)$가 양의 정수이면 $2(f(p)!)+1$이 $p$의 배수가 될 양의 정수 $N$이 존재한다.

평면을 무한히 많은 정사각형칸들로 바둑판 모양으로 분할하였다. 각 정사각형 칸 각각은 1201개의 색깔 중 하나로 칠해져 있는데, 둘레가 100인 직사각형 내부에는 같은 색 칸이 없다고 한다. 이때 같은 색으로 칠해진 두 칸이 있는 $1\times 1201$이나 $1201\times 1$ 직사각형은 없다는 것을 보여라.

(직사각형은 바둑판 모양을 구성하는 정사각형의 변과 평행한 변을 갖는 것만 고려한다.)

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