$3$ 이상의 정수 $n$이 있다. 개구리가 수직선 위에서 0에서 출발하여 길이 1짜리 한 번, 길이 2짜리 한 번, $\ldots$, 길이 $n$짜리 한번씩 총 $n$번을 아무 순서로 뛸 수 있다. 어떤 순간에 개구리가 양수가 아닌 수 $a$위에 앉아있었다면 반드시 개구리는 오른쪽 방향, 즉 수가 커지는 방향으로 뛰어야 한다고 한다.반대로 개구리가 양수인 수 $a$위에 앉아있다면 다음 뛸 때는 반드시 왼쪽, 즉 수가 작아지는 방향으로 뛰어야 한다. 개구리가 $1$, $2$, $\ldots$, $k$ 중 어느 수도 밟지 않고 $n$번 뛸 수 있다면 가능한 $k$의 최대값은 얼마인가?
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)

다음을 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 구하여라. 단 $\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.
\[\text{모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 } f(x+y)+y\le f(f(f(x))).\]
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)

원 $\Gamma$에 내접한 삼각형 $ABC$가 있고 $I$를 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심이라 하자. 직선 $AI$, $BI$, $CI$가 원 $\Gamma$와 각각 $D(\neq A)$, $E(\neq B)$, $F(\neq C)$에서 만난다고 하자. 원 $\Gamma$의 점 $F$, $D$, $E$에서의 접선들이 각각 직선 $AI$, $BI$, $CI$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$, $T$라 하자. 이때 \[ AR \cdot BS \cdot CT = ID \cdot IE\cdot IF\]임을 보여라.
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)

a) 다음 성질을 만족하는 모든 양의 정수 $g$를 구하여라: 임의의 홀수인 소수 $p$에 대해 다음 두 수 \[ g^n-n\text{와 }g^{n+1}-(n+1)\]이 모두 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $n$이 존재한다.
b) 다음 성질을 만족하는 모든 양의 정수 $g$를 구하여라: 임의의 홀수인 소수 $p$에 대해 다음 두 수 \[ g^n-n^2\text{와 }g^{n+1}-(n+1)^2\]이 모두 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $n$이 존재한다.
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)