2016년 4월 29일 – 5월 1일.

문제 및 풀이 www.bxmo.nl/problems-results/index.html

 

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다음 성질을 만족하는 가장 큰 양의 정수 $N$을 구하라: 모든 $i\neq j$에 대해 $x_i^2-x_ix_j$가 $1111$의 배수가 되지 않는 정수 $x_1,\ldots,x_N$이 존재한다.

양의 정수 $n$의 양의 약수들을 합이 소수가 되는 두 개씩 묶어서 쌍으로 나눌 수 있다고 한다. 이때 이 소수들은 모두 서로 다르고 $n$의 약수가 되지 않음을 보여라.

모든 실수 $x,y\in \mathbb R$에 대해 \[ (f(f(y)-x))^2+f(x)^2+f(y)^2=f(y)\cdot (1+2f(f(y)))\]인 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb Z$를 구하여라.

삼각형 $ABC$의 두 꼭짓점 $B$, $C$를 지나는 원 $\omega$가 변 $AC$와 만나는 $C$ 아닌 점을 $D$, 변 $AB$와 만나는 $B$ 아닌 점을 $E$라 하자. 반직선 $BD$ 위에 $\lvert BK\rvert=\lvert AC\rvert$인 점 $K$가 있고 반직선 $CE$에 $\lvert CL\rvert=\lvert AB\rvert$인 점 $L$이 있다. 이때 삼각형 $AKL$의 외심 $O$는 원 $\omega$ 위에 있음을 보여라.