2011 중국여자수학올림피아드

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방정식 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$이 $x\le y$인 양의 정수해 $(x,y)$를 정확히 2011개 갖게될 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.

사각형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 $E$라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 수직이등분선의 교점을 $F$라 하자. 그리고 직선 $EF$가 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $AD$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 만일 $MF \cdot CD=NF\cdot AB$이고 $DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$라면 직선 $PQ$와 직선 $BC$가 수직으로 만난다는 것을 증명하라.

$abcd=1$인 양의 실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 있다고 하자. 이때 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\ge \frac{25}{4}$임을 증명하라.

$n>2$명의 선수가 참가한 어떤 테니스 대회에서는 임의의 두 선수는 서로 경기를  한번씩 한다고 하고 비기는 경기는 없다고 한다. 모든 경기가 끝난 후 선수들을 원형으로 잘 세웠더니, 임의의 세 선수 $A$, $B$, $C$에 대해 $A$, $B$가 원에서 이웃하면 $A$, $B$ 두 선수 중 적어도 한 명은 $C$를 이겼다고 한다. 이런 현상이 가능한 모든 $n$을 구하여라.

음아닌 실수 $\alpha$가 주어져있다. 다음 조건이 성립할 최소의 실수 $\lambda=\lambda(\alpha)>0$를 구하시오: 임의의 복소수 $z_1$, $z_2$와 실수 $0\le x\le 1$에 대해 $\lvert z_1\rvert \le \alpha \lvert z_1-z_2\rvert$이면 $\lvert z_1-x z_2\rvert \le \lambda \lvert z_1-z_2\rvert $이다.

정수 $m^{20}+{11}^n$이 완전제곱수가 될 양의 정수 $m$, $n$이 존재하는가?

$n$개의 상자 $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$을 왼쪽부터 오른쪽으로 나열해두었다. 이 상자들 안에 총 $n$개의 공이 있다고 한다. 만일 $B_1$에 공이 적어도 하나 있다면 그 공을 $B_2$로 옮길 수 있다. 만일 $B_n$에 공이 하나 이상 있다면 그 공을 $B_{n-1}$로 옮길 수 있다고 하자. 만일  $2\le k\le n-1$에 대해 $B_k$에 공이 $2$개 이상 있다면 공 하나는 $B_{k-1}$로, 다른 것은 $B_{k+1}$로 옮길 수 있다고 하자. 이때 처음에 공 $n$개가 어떻게 들어있던지 간에 위의 방법을 잘 쓰면 모든 상자가 공을 정확히 하나 갖도록 공을 옮길 수 있음을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선  $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.

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