2012 중국여자수학올림피아드

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음이 아닌 실수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[
\frac{1}{1+a_1}+\frac{a_1}{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots+\frac{a_1a_2\cdots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}\le 1.
\]
(2012년 8월 10일, 광저우, 첫째날 4시간 동안 1~4번 문제)

아래 그림과 같이 두 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$가 점 $T$에서 외접한다. 두 점 $A$와 $E$는 원 $\Gamma_1$ 위에 있다. 직선 $AB$와 $DE$는 각각 점 $B$와 $D$에서 원 $\Gamma_2$에 접한다. 직선 $AE$와 $BD$가 점 $P$에서 만날 때, 다음을 보여라.
(1) $\displaystyle \frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$.
(2) $\angle ATP+\angle ETP=180^\circ$.
2012 중국여자수학올림피아드 2번문제 그림 (2012년 8월 10일, 광저우, 첫째날 4시간동안 1~4번 문제)

다음 조건을 만족하는 정수의 쌍 $(a,b)$를 모두 구하여라:
모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a^n+b^n+1$들을 모두 나누는 정수 $d\ge 2$가 존재한다.

(2012년 8월 10일, 광저우, 첫째날 4시간동안 1~4번 문제)

정13각형의 각 꼭지점에 검은색 혹은 흰색의 돌이 하나씩 놓여 있다. 적당한 두 개의 돌을 서로 바꾸면, 전체 돌들의 색깔배치가 이 정13각형의 한 대칭축에 대하여 대칭이 되게 할 수 있음을 보여라.
(2012년 8월 10일, 광저우, 첫째날 4시간동안 1~4번 문제)

아래 그림과 같이, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고 내접원이 변 $AB$, 변 $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 삼각형 $BCI$의 외심을 $O$라고 할 때, $\angle ODB=\angle OEC$임을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간 동안 5~8번 문제)

한 나라에 $n$개($n\ge 3$)의 도시와 두 개의 항공사가 있다. 임의의 두 도시 사이에는 이 두 도시를 오가는 항공편이 있고, 그 항공편은 모두 한 항공사가 운영한다. 한 여성 수학자가 한 도시에서 출발하여 그 도시로 돌아오는 여행을 하는데, 중간에 두 개 이상의 다른 도시를 각각 한번씩 거쳐서 돌아온다. 그 수학자가 어떤 도시에서 출발하든, 어떠한 경로를 택하든 상관없이 항상 두 항공사를 모두 이용하게 된다고 한다. 이러한 상황이 존재하도록 항공사를 배치할 수 있는 $n$ 중 가장 큰 값을 구하여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)

양의 정수의 수열 $a_1\le a_2\le \cdots$에 대하여, $\displaystyle \frac{r}{a_r}=k+1$인 어떤 두 양의 정수 $k$와 $r$이 존재한다고 한다. 이때, $\displaystyle \frac{s}{a_s}=k$인 양의 정수 $s$가 존재함을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)

$\displaystyle \binom{2012}{k}=\frac{2012!}{k! \, (2012-k)!}$이 $2012$의 배수가 되는 정수 $k\in \{0,1,2,\ldots,2012\}$의 개수를 구하여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)

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