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$0\lt t\lt 1$인 실수 $t$가 있다. $xy$평면 위에 세 직선 $x=1$, $y=0$, $y=t(2x-t)$에 의해 둘러싸인 영역을 $A$라 하자. 이때 $A$ 안에 있으면서 두 점 $(t,t^2)$, $(1,0)$을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이는 $1/4$을 넘을 수 없음을 보여라.
(2013년 8월 12일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

변 $AB$와 $CD$가 평행한 사각형 $ABCD$가 있다. 변 $DA$, $AB$, $BC$와 동시에 접하는 원 $O_1$과 $AB$가 만나는 점을 $P$라 하자. 변 $BC$, $CD$, $DA$가 동시에 접하는 원 $O_2$와 $CD$가 만나는 점을 $Q$라 하자. 이때 직선 $AC$, $BD$, $PQ$는 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
(2013년 8월 12일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

여학생 $m$명 남학생 $n$명이 있는 단체에서 임의의 두 사람은 서로를 알거나 서로를 모른다고 한다. 임의로 남학생 두 명과 여학생 두 명을 뽑아보면 그 중 어떤 남학생과 여학생은 서로 모른다고 한다. 이때 서로 아는 남학생과 여학생 쌍의 수는 $m+\frac{n(n-1)}{2}$를 넘을 수 없음을 보여라.
(2013년 8월 12일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

다음 두 조건을 동시에 만족시키는 다항식 $f(x)=ax^3+bx$의 수를 구하여라.
(i) $a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$.
(ii) $f(1), f(2), \ldots,f(2013)$ 중 임의의 두 수의 차이는 $2013$의 배수가 아니다.
(2013년 8월 12일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

임의의 양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 양의 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 반드시 존재함을 보여라.
(i) $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$.
(ii) 양의 실수 $y_1,y_2,\ldots,y_n$이 $\sum_{i=1}^n y_i=1$이면 \[\sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i}{x_i+y_i}\ge \frac12 \sum_{i=1}^n a_i\]를 만족한다.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

집합 $\{0,1,2,\ldots,98\}$의 원소 $m(\ge 3)$개인 부분집합 $S$가 아래 조건을 만족한다고 한다.
(조건) 임의의 $x,y\in S$에 대해 $x+y\equiv 2z\pmod {99}$인 $z\in S$가 존재한다.
이때 가능한 모든 $m$ 값을 구하여라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

점 $T$에서 외접하는 두 원 $O_1$, $O_2$가 있다. 원 $O_1$에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $DA$와 직선 $CB$가 원 $O_2$와 각각 점 $E$, $F$에서 접한다고 한다. 각 $ABF$의 각이등분선이 $EF$와 만나는 점을 $N$이라 하자. 원 $O_1$의 원호 $AT$가 직선 $FT$와 점 $M(\neq A,T)$에서 만난다고 한다. 이때 $M$이 삼각형 $BCN$의 외심임을 증명하라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

짝수인 정수 $n(\ge 4)$이 있다. 정$n$각형의 각 꼭지점에 $n$개의 서로 다른 수가 적혀있고, $n$개의 변을 시계방향으로 $e_1,e_2,\ldots,e_n$이라 부르자. 어떤 변의 양 끝점에 적힌 수가 시계 방향으로 증가하는 방향일 때 그 변을 양이라 부르자. 두 서로 다른 변의 쌍 $\{e_i, e_j\}$가 다음 두 조건을 동시에 만족하면 오르락내리락이라 하자.
(i) $i+j$는 짝수이다.
(ii) $e_i$, $e_j$의 양 끝점에 적힌 수들을 크기 순으로 $a\lt b\lt c\lt d$로 나열하면 $a$와 $c$가 $e_i$ 혹은 $e_j$ 하나의 양 끝점에 적힌 수이다.
이때 오르락내리락인 변의 쌍의 수와 양인 변의 수의 합은 홀수임을 증명하라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)