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외심이 $O$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $D$, $E$, $F$를 $DE$와 $CO$가 수직으로 만나고 $DF$가 $BO$가 수직으로 만나게 잡는다. 삼각형 $AFE$의 외심을 $K$라 할 때, 직선 $DK$와 $BC$가 수직으로 만남을 증명하여라.
(2012년 4월 12일. 첫째날. 4시간30분동안 4문제)
양의 정수 $n$이 주어져있다. 다음 조건을 만족하는 최대의 정수 $m$값을 $n$에 관한 식으로 구하여라.
임의의 서로 다른 두 행 $[a_1, a_2, \ldots , a_n]$, $[b_1, b_2, \ldots b_n]$이 \[\max(|a_1 −b_1|,|a_2 −b_2|,\ldots,|a_n −b_n|)=1\]을 만족하게 하는 $m$개의 행과 $n$개의 열을 가진 실수행렬이 존재한다.
임의의 실수 $x$, $y$에 대해,
\[f\left(yf(x + y) + f(x) \right)= 4x + 2yf(x + y)\]를 만족하는 모든 함수 $f : \mathbb R\to \mathbb R$를 구하시오.
(2012년 4월 12일, 첫째날 문제, 4시간 30분동안 4문제)
정수들의 집합 $A$에서 임의의 원소 $a$가 어떤 두 (같을 수도 있는) 원소 $b, c\in A$의 합으로 표현될 때, 이 집합 $A$를 꽉찬 집합이라고 하자. 정수들의 집합 $A$의 유한한 공집합 아닌 부분집합의 원소의 합으로 표현할 수 없는 수가 $0$뿐일 때, 이 집합 $A$를 $0$만 못 만드는 집합이라 하자.
$0$만 못 만드는 꽉찬 정수들의 집합이 존재하는가?
(2012년 4월 12일, 첫째날, 4시간 30분동안 4문제)
소수 $p$, $q$가 어떤 정수 $n$에 대해 \[ \frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2n}{n+2}\]를 만족한다고 하자. 이때 $q-p$가 가능한 모든 값을 구하시오.
(2012년 4월 13일, 둘쨋날, 4시간 반동안 4문제)
소셜 네트웍 Mugbook이라는 곳에 무한히 많은 사람들이 등록하였다고 하자. 서로 다른 어떤 두 사람은 친구로 등록될 수 있는데, 각 사람은 유한명의 친구를 가질 수 있다고 한다. 모든 사람은 적어도 한 명의 친구는 있다고 하자. (친구 관계는 대칭적이라서 A가 B의 친구라면 B 역시 A의 친구이다.)
각 사람은 모두 친구 중 한 명을 뽑아 절친으로 지정한다. A가 B를 절친으로 등록한다고 하더라도 B는 A가 아닌 다른 사람을 절친으로 지정할 수도 있다. 누군가의 절친인 사람은 1-절친이라고 부르자. 일반적으로 어떤 정수 $n>1$에 대해, 어떤 사람이 $n$-절친이라는 말은, 그 사람이 $(n-1)$-절친인 사람의 절친이라는 것으로 정의하자. 모든 양의 정수 $k$에 대해 $k$-절친이 되는 사람을 인기인이라 부르자.
(a) 모든 인기인 각자는 어떤 인기인의 절친임을 증명하라.
(b) 만일 사람들이 무한히 많은 친구를 가질 수 있다면, 인기인이라고 하더라도 어떤 인기인의 절친이 아닐 수도 있음을 보여라.
(2012년 4월 13일, 둘쨋날, 4시간 반동안 4문제)
외접원이 $\Gamma$이고 수심이 $H$인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 원 $\Gamma$위에서 직선 $BC$를 기준으로 $A$의 반대쪽에 점 $K$가 있다. 직선 $AB$로 $K$를 대칭시켜 얻는 점을 $L$이라 하고 직선 $BC$로 $K$를 대칭시켜 얻는 점을 $M$이라 하자. 삼각형 $BLM$의 외접원과 원 $\Gamma$가 만나는 $B$ 아닌 점을 $E$라 하자. 이때, 세 직선 $KH$, $EM$, $BC$가 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
(2012년 4월 13일, 둘쨋날, 4시간 반동안 4문제)
알파벳 유한개를 나열한 것을 단어라고 하자. 어떤 단어가 똑같은 단어 두 개 이상을 붙여서 만들어지면 그 단어를 도돌이단어라 하자. (예를 들어 ababab나 abcabc는 도돌이단어지만, ababa나 aabb는 그렇지 않다.) 이때, 어떤 단어에서 임의의 인접한 두 글자 자리를 바꾸어도 도돌이단어가 된다면, 이 단어의 모든 글자가 같다는 것을 증명하라. (인접한 두 글자가 같은 알파벳인 경우에도 그 자리를 바꿀 수 있으며, 이때는 단어가 변하지 않는다.)
(2012년 4월 13일, 둘쨋날, 4시간 반동안 4문제)