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예각삼각형  $ABC$의 꼭지점 $C$에서 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 각 $ABC$의 각이등분선이 선분 $CD$와 만나는 점을  $E$, 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$와 다시 만나는 점을 $F$라 하자. 만일 $\angle ADF=45^\circ$이면, 직선 $CF$가 원 $\omega$에 접한다는 것을 보여라.

$2\times 1$ 타일이나 $1\times 2$ 타일을 도미노라 하자. 정확히 $n^2$개의 도미노를 가로로 $2n$칸, 세로로 $2n$칸이 있는 체스판에 겹치지 않게 배치하되 모든 가로 $2$칸 세로 $2$칸의 정사각형에는 도미노로 덮이지 않은 한 변을 공유하고 있는 두 칸이 존재하도록 하고 싶다. 이렇게 도미노를 배치하는 방법의 수를 구하여라.

$1$보다 큰 양의 정수 $n$, $m$에 대하여 정수 $n^m$보다 크지 않은 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_m$이 주어져있다. 이때, 다음 조건을 만족하는 $n$보다 크지 않은 양의 정수 $b_1,b_2,\ldots,b_m$이 존재함을 증명하라. \[ \operatorname{gcd}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_m+b_m)\lt n\]단, $\operatorname{gcd}(x_1,x_2,\ldots,x_m)$은 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_m$의 최대공약수를 뜻한다.

모든 양의 정수 $n$에 대해 \[ a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_n}\]을 만족하는 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots$이 존재하는가?

두 양의 정수 $m$, $n$이 주어져있다. 단, $m\gt 1$. 아나스타샤는 정수 $1$, $2$, $\ldots$, $2m$을 $m$개의 짝으로 나눈다. 보리스는 각 짝에서 하나씩 정수를 뽑아서 뽑은 수의 합을 구한다. 이때 아나스탸사가 짝을 잘 골라서 보리스가 절대 합으로 $n$을 만들 수 없게 할 수 있음을 보여라.

변 $AB$와 변 $AC$의 길이가 다른 예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 무게중심을 $G$라 하자. 직선 $AG$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 점 $A$, 점 $P$에서 만난다고 하자. 점 $P$를 직선 $BC$에 대칭시켜 얻은 점을  $P’$라 하자. 이때 $\angle CAB=60^\circ$일 필요충분조건은 $HG=GP’$임을 보여라.