2017 유럽여학생수학올림피아드

2017 유럽여학생수학올림피아드 1번문제

2017년 4월 8일, 9일

4시간 30분동안 3문제. 출처: 1일차문제

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볼록사각형 $ABCD$에서 $\angle DAB=\angle BCD=90^\circ$이고 $\angle ABC>\angle CDA$이다. 변 $BC$위의 점 $Q$와 변 $CD$위의 점 $R$을 이어서 만든 선분이 직선 $AB$와 만나는 점을 $P$, 직선 $AD$와 만나는 점을 $S$라 하였더니 $PQ=RS$라 한다. 선분 $BD$, $QR$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 할 때, 네 점 $M$, $N$, $A$, $C$는 한 원 위에 있음을 보여라.

양의 정수의 집합 $\mathbb Z_{>0}$의 원소 각각을 $k$개의 색 중 하나로 잘 칠했을 때 다음 두 성질을 모두 만족시키는 함수 $f:\mathbb Z_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$가 존재한다고 한다. 이렇게 될 최소의 양의 정수 $k$ 값을 구하여라.

(i) 두 양의 정수 $m$, $n$의 색이 같으면 $f(m+n)=f(m)+f(n)$.

(ii) $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$인 양의 정수 $m$, $n$이 존재한다.

집합 $\mathbb Z_{>0}$의 원소 각각을 $k$개의 색 중 하나로 칠한다는 말은 각각의 양의 정수를 $k$개의 색 중 정확히 하나로 칠한다는 말이다. (i), (ii) 조건에서 양의 정수 $m$, $n$은 같을 수도 있다.

어느 세 직선도 같은 점을 지나지 않는 2017개의 직선이 평면 위에 있다. 터보달팽이가 이 직선들 중 정확히 하나의 직선  위에만 있는 점에서 시작하여 다음과 같은 방법으로 직선을 따라 이동한다: 주어진 직선을 따라 움직이다가 다른 직선과 만나는 교차점을 보면 좌회전 또는 우회전을 하여 그 직선으로 옮겨타고 다시 계속 이동하는데, 이때 좌회전을 한 다음에는 우회전을, 우회전을 한 다음에는 좌회전을 한다. 터보달팽이는 교차점에서만 진행방향을 바꿀 수 있다. 이때, 터보달팽이가 두 방향으로 모두 이동한 적이 있는 선분이 있을 수 있는가?

양의 정수 $n$과 양의 정수 $t_1<t_2<\cdots<t_n$이 있다고 하자. 총 $t_n+1$명으로 구성된 단체에서 체스 게임을 진행한다. 두 사람은 서로 많아야 한 판의 게임을 할 수 있다. 이때, 아래 두 조건이 동시에 성립하는 것이 가능함을 보여라.

(i) 각 사람이 게임을 한 횟수가 정확히 $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ 중 하나이다.

(ii) $1\le i\le n$인 모든 정수 $i$에 대해, 정확히 $t_i$번 게임을 한 사람이 있다.

2 이상인 정수 $n$이 있다. 양의 정수 $n$개 (중복 허용)의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$이 다음 조건을 만족시키면 비싸다고 하자: \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}\]인 양의 정수 $k$가 존재한다.

a) 양의 정수 $n$개의 비싼 순서쌍이 존재할 모든 양의 정수 $n\ge 2$를 구하라.

b) 모든 홀수인 양의 정수 $m$에 대해, $m$을 포함한 양의 정수 $n$개의 비싼 순서쌍이 존재할 정수 $n\ge 2$이 있음을 보여라.

(위 수식의 좌변에는 정확히 $n$개의 항이 곱해진다.)

이등변삼각형이 아닌 예각삼각형 $ABC$가 있다. 무게중심 $G$와 외심 $O$를 변 $BC$, $CA$, $AB$에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $G_1$, $G_2$, $G_3$와 $O_1$, $O_2$, $O_3$라 하자. 이때 삼각형 $G_1G_2C$, $G_1G_3B$, $G_2G_3A$, $O_1O_2C$, $O_1O_3B$, $O_2O_3A$, $ABC$의 외접원들은 한 점을 공유함을 보여라.

(삼각형의 중심이란 세 중선의 교점이다. 중선이란 삼각형의 꼭짓점과 대변의 중점을 잇는 직선이다.)

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