2012 국제대학생수학경시대회(IMC)

GD Star Rating
loading...

양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)$을 $n$을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수라 하자. 예를 들어 \[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\]이므로 $p(4)=5$이다. $p(0)=1$이라 하자.
이때 $p(n)-p(n-1)$은 $n$을 $1$보다 큰 정수들의 합으로 나타내는 방법의 수와 같음을 증명하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

고정된 양의 정수 $n$이 주어져있다. 이때, 주 대각선 값은 모두 $0$이고 그 외의 값은 모두 양의 실수 값이 들어있는 $n\times n$ 행렬의 rank 값의 최소값을 구하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

정수 $n>1$에 대해 $S_n$을 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$의 순열군(permutation group)이라고 하자. 두 사람 $A$와 $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 돌아가며 한 사람씩 아직 뽑지 않은 $S_n$의 원소를 하나씩 뽑는다. 뽑힌 $S_n$의 원소들이 $S_n$을 생성하면 게임이 끝난다. 마지막에 원소를 뽑은 사람이 진다고 하고 처음에 $A$부터 시작한다고 한다. 누가 필승전략이 있는가?
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

미분이 연속인 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$가 부등식 $f'(t)>f(f(t))$를 모든 실수 $t$에서 만족시킨다고 한다. 이때 $t\ge 0$이면 $f(f(f(t)))\le 0$임을 증명하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

유리수 $a$와 양의 정수 $n$에 대해 다항식 $x^{2^n} (x+a)^{2^n}+1$은 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약(irreducible)임을 증명하라. (단, $\mathbb Q[x]$는 유리수 계수 다항식의 환(ring)이다.)
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

다항식 $f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots+a_1 x+a_0$를 이용하여 아인슈타인과 심슨이 다음 게임을 한다. 돌아가면서 각자 $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_{2011}$ 중 하나의 계수를 골라서 거기에 실수 값을 대입한다. 아인슈타인이 먼저 계수를 골라 대입한다고 한다. 한번 값이 대입되면 그 계수는 누구도 바꿀 수 없다고 한다. 게임은 모든 계수가 정해지면 끝난다. 다항식 $f(x)$가 어떤 고정된 다항식 $m(x)$로 나누어떨어지면 심슨이 이기고, 그렇지 않으면 아인슈타인이 이긴다.
(a) 만일 $m(x)=x-2012$라면 누가 필승전략이 있는가?
(b) 만일 $m(x)=x^2+1$이라면 누가 필승전략이 있는가?

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

 

수열 $a_0$, $a_1$, $\ldots$을 아래와 같이 정의하자: $a_0=1$, $a_0=\frac{1}{2}$, \[a_{n+1}=\frac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n\ge 1.\]
이때 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$은 수렴함을 증명하고 그 값을 구하라.

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

$(2012n)!$이 $n!+1$의 배수가 되게 하는 양의 정수의 집합은 유한집합인가 무한집합인가?

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

정수 $n\ge 2$이 주어져있다. 이때 \[x_1 (1-x_2)=x_2(1-x_3)=\cdots=x_n (1-x_1)=a\]를 만족하는 실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$이 존재할 모든 실수 $a$를 찾으시오.

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

실수 $c\ge 1$가 주어져있다. 가환군(abelian group) $G$의 유한 부분집합 $A$가 $|A+A|\le c|A|$를 만족시킨다고 하자. 여기서 $|X+Y|$는 $\{x+y: x\in X, y\in Y\}$를 뜻하고, $|Z|$는 $Z$의 원소의 개수를 뜻한다. 이때 모든 양의 정수 $k$에 대해 \[ |\underbrace{A+A+\cdots+A}_k| \le c^k |A|\]임을 증명하라.

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

답글 남기기