2006 국제수학올림피아드 Short List

2006년 국제수학올림피아드에 후보로 거론된 문제 목록입니다.
출처 및 풀이

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모든 $i\ge 0$에 대해 \[ a_{i+1}=\lceil a_i\rceil \cdot \langle a_i\rangle\]를 만족하는 실수의 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 있다. 단, $\lceil a_i\rceil$는 $a_i$보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 것을 뜻하며 $\langle a_i\rangle = a_i-\lceil a_i\rceil$이다. 이때 충분히 큰 $i$에 대해 $a_i=a_{i+2}$임을 보여라.

실수의 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 $a_0=-1$이며 모든 $n\ge 1$에 대해 \[\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{n-k}}{k+1}=0\]을 만족한다. 이때 모든 $n\ge 1$에 대해 $a_n\gt 0$임을 보여라.

$c_0=1$, $c_1=0$이며 $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$인 수열 $c_0$, $c_1$, $c_2$, $\ldots$이 있다. 어떤 양의 정수의 집합 $J$에 대해 $x=\sum_{j\in J} c_j$, $y=\sum_{j\in J}c_{j-1}$이 되는 모든 순서쌍 $(x,y)$들의 집합을 $S$라 하자. 이때 아래 조건을 만족시키는 양의 실수 $\alpha$, $\beta$, $m$, $M$이 존재함을 증명하라: 음아닌 정수의 순서쌍 $(x,y)$가 $S$에 속할 필요충분조건은 \[ m\lt \alpha x+\beta y\lt M\]인 것이다.
(단, $J$가 공집합인 경우 $\sum_{J} c_j=\sum_{J} c_{j-1}=0$이다. )

양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$에 대해 다음 부등식을 증명하라. \[ \sum_{i\lt j} \frac{a_i a_j}{a_i+a_j} \le \frac{n}{2 (a_1+a_2+\cdots+a_n)} \sum_{i\lt j} a_i a_j.\]

어떤 삼각형의 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$라 하면 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\le 3.\]

총 $n\ge 2$개의 전구 $L1$, $\ldots$,$L_n$이 일렬로 놓여있으며 각각은 켜져있거나 꺼져있다. $1$초가 지날때마다 각 전구는 아래와 같은 규칙으로 바뀐다.
– 만일 $L_i$ 및 그 이웃한 전구가 모두 같은 상태였으면 $L_i$는 꺼진다.
– 그렇지 않으면 $L_i$는 켜진다.
처음에는 $L_1$은 켜져있고 그 이외의 모든 전구는 꺼져있다고 한다.
(a) 모든 전구가 결국에는 다 꺼지게 되는 양의 정수 $n$이 무한히 많이 존재함을 보여라.
(b) 아무리 기다려도 모든 전구가 동시에 다 꺼지게 되지 않는 양의 정수 $n$이 무한히 많이 존재함을 보여라.

평면 위의 유한 개의 점의 집합 $S$의 임의의 세 점도 한 직선 위에 있지 않다고 하자. 모든 꼭지점이 $S$에 속한 볼록 다각형 $P$의 꼭짓점의 수를 $a(P)$, 바깥에 있는 $S$의 점의 수를 $b(P)$라 하자. 이때 임의의 실수 $x$에 대해 \[\sum_{P} x^{a(P)} (1-x)^{b(P)}=1\]임을 보여라. 단, 위 식에서 합은 모든 꼭지점이 $S$에 속한 모든 볼록 다각형 $P$에 대해서 적용하며, 꼭지점이 $0$개, $1$개, $2$개인 것도 볼록 다각형으로 한다.

가로 $n$칸 세로 $n$칸인 바둑판 모양의 케이크를 만들었다. 현재 각 행과 각 열에는 정확히 한 개의 딸기가 있도록 딸기를 놓여있다. 같은 성질을 만족하게 딸기를 놓은 다른 상황을 $\mathcal B$라 하자. 제일 왼쪽 윗 칸을 포함하며 바둑판의 일부로 만들 수 있는 임의의 직사각형 안에서만 보면 현재 딸기 수가 $\mathcal B$에서의 딸기 수보다 적거나 같다고 한다. 이때 현재 상태로부터 아래 조작을 반복하면 $\mathcal B$ 상태로 바꿀 수 있음을 보여라.
정확히 오른쪽 윗 구석칸, 왼쪽 아래 구석칸에만 딸기를 가지고 있는 직사각형을 골라서 두 딸기를 반대쪽 구석칸, 즉 왼쪽 윗 구석칸, 오른쪽 아래 구석칸으로 옮기는 것이 하나의 조작이다.

총 $n$명의 선수가 출전하여 $k$번의 라운드를 거치면서 아래 두 조건을 만족시키면서 경기를 하는 방법을 $(n,k)$-토너먼트라 부르자.
(i) 각 선수는 각 라운드에 정확히 한 번 경기를 하며 임의의 두 선수는 많아야 한 번 대결을 한다.
(ii) 선수 $A$, $B$가 $i$번째 라운드에서 대결을 하고 선수 $C$, $D$가 $i$번째 라운드에서 대결을 하며 선수 $A$, $C$를 $j$번째 라운드에서 대결을 한다면, 선수 $B$, $D$는 $j$번째 라운드에서 대결을 한다.
이때 이러한 $(n,k)$-토너먼트가 존재할 모든 값 $(n,k)$를 구하여라.

한 변의 길이가 $n$인 정삼각형에서 한 변의 길이가 $1$이고 한 변은 큰 정삼각형의 한 변과 평행한 $n$개의 정삼각형 모양의 구멍을 뚫어 만든 모양을 `구멍 뚫린 삼각형’이라 부르자. 두 정삼각형을 붙여 만든 마름모를 다이아몬드꼴 마름모라고 부르자. 어떤 구멍 뚫린 삼각형 $T$의 내부를 다이아몬드꼴 마름모로 분할할 수 있을 필요충분조건이 아래와 같음을 보여라.
“임의의 $1\le k\le n$에 대해, 한 변의 길이가 $k$이고 한 변은 $T$의 어느 변과 평행한 임의의 정삼각형 내부에는 많아야 $k$개의 구멍이 있다.”

서로 평행한 두 모서리가 없으며, 어느 모서리를 보더라도 그 모서리와 만나는 두 면 아닌 모든 면은 그 모서리와 평행하지 않은 볼록 다면체가 있다. 이 다면체의 두 점에 대해 각각을 지나는 평행한 두 평면이 있어서 이 다면체가 그 두 평면 사이에 포함되면 이 두 점을 맞은편에 있다고 하자.
맞은 편에 있는 꼭짓점 쌍의 수를 $A$라 하고, 맞은 편에 있는 모서리의 중점의 쌍의 수를 $B$라 할 때, $A-B$의 값을 이 다면체의 꼭짓점의 수, 모서리의 수, 면의 수를 이용하여 표현하여라.

변 $AB$가 변 $CD$보다 길고 평행한 사다리꼴 $ABCD$이 있다. 이때, $AK/KB=DL/LC$가 되게 변 $AB$, $CD$에 각각 점 $K$, $L$을 잡았다. $\angle APB=\angle BCD$, $\angle CQD=\angle ABC$이 되도록 선분 $KL$ 위의 두 점 $P$, $Q$를 잡자. 이 때, 점 $P$, $Q$, $B$, $C$는 한 원 위에 있음을 보여라.

볼록오각형 $ABCDE$에서 $\angle BAC=\angle CAD=\angle DAE$, $\angle ABC=\angle ACD=\angle ADE$가 성립한다고 하자. 대각선 $BD$와 $CE$가 점 $P$에서 만난다고 할 때, 직선 $AP$는 변 $CD$를 이등분함을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 변 $AC$ 위의 점 $D$가 있어서 $\angle C\lt \angle A\lt 90^\circ$이고 $BD=DA$이다. 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $AB$와 $AC$에 내접하는 점을 각각 $K$, $L$이라 하자. 삼각형 $BCD$의 내심을 $J$라 할 때, 직선 $KL$은 선분 $AJ$의 중점을 지남을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 변 $BC$와 점 $A_1$에서 만나는 방접원의 중심을 $J$라 하고 그 방접원이 직선 $AC$와 만나는 점을 $B_1$, 직선 $AD$와 만나는 점을 $C_1$이라 하자. 직선 $A_1 B_1$과 직선 $AB$이 수직으로 점 $D$에서 만난다고 하자. 점 $C_1$에서 직선 $DJ$로 내린 수선의 발을 $E$라 하자. 이때 $\angle BEA_1$과 $\angle AEB_1$을 구하라.

중심이 $O_1$, $O_2$인 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$가 점 $D$에서 서로 외접하며 그 두 원 모두 각각 점 $E$, $F$에서 원 $\omega$에 내접한다. 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$와 공통으로 접하고 점 $D$를 지나는 직선을 $t$라 하자. 직선 $t$에 수직인 원 $\omega$의 지름을 $AB$라 하되, 점 $A$, $E$, $O_1$이 $t$에 대해 같은 쪽에 있게 하였다. 이때, 직선 $AO_1$, $BO_2$, $EF$, $t$는 공통인 점을 지남을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 $M_a$, $M_b$, $M_c$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원의 (다른 꼭지점을 포함하지 않는) 각 호 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $T_a$, $T_b$, $T_c$라 하자. 모든 $i\in \{a,b,c\}$에 대해, $M_i T_i$를 지름으로 하는 원을 $\omega_i$라 하고, 원 $\omega_j$와 $\omega_k$에 동시에 외접하면서 원 $\omega_i$가 $\omega_j$, $\omega_k$와는 반대쪽에 있게 하는 직선을 $p_i$라 하자 (단 $\{i,j,k\}=\{a,b,c\})$). 이때 직선 $p_a$, $p_b$, $p_c$가 이루는 삼각형은 $ABC$와 닮음을 증명하고 그 닮음비를 구하여라.

볼록사각형 $ABCD$가 있다. 점 $A$, $D$를 지나는 원과 점 $B$, $C$를 지나는 원이 사각형 밖의 점 $P$에서 외접한다. 만일 $\angle PAB+\angle PDC\le 90^\circ$이고 $\angle PBA+\angle PCD\le 90^\circ$이면, $AB+CD\ge BC+AD$임을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $A_1$, $B_1$, $C_1$이 있다. 삼각형 $AB_1C_1$, $BC_1A_1$, $CA_1B_1$의 외접원이 삼각형 $ABC$와 다시 만나는 점을 각각 $A_2$, $B_2$, $C_2$라 하자. (단, $A_2\neq A$, $B_2\neq B$, $C_2\neq C$). 점 $A_1$, $B_1$, $C_1$을 각각 변 $BC$의 중점, $CA$의 중점, $AB$의 중점에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $A_3$, $B_3$, $C_3$라 하자. 이때 삼각형 $A_2B_2C_2$와 $A_3B_3C_3$는 닮았음을 보여라.

실수 $x\in (0,1)$에 대해, $x$의 소숫점 아래 $2^n$번째 자리수를 소숫점 아래 $n$번째 자리수로 갖는 실수 $y\in (0,1)$가 있다고 하자. 이때, 만일 $x$가 유리수이면 $y$도 유리수가 됨을 보여라.

실수 $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $\ldots$가 식 \[ f(n)=\frac1n \left( \lceil \frac{n}{1}\rceil +\lceil\frac{n}{2}\rceil+\cdots+\lceil \frac{n}{n}\rceil\right)\]으로 정의되어 있다고 하자. 단, $\lceil x\rceil$은 $x$보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 값이라 하자.
(a) 무한히 많은 $n$에 대해 $f(n+1)\gt f(n)$임을 증명하라.
(b) 무한히 많은 $n$에 대해 $f(n+1)\lt f(n)$임을 증명하라.

다음 식 \[ \frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1\]을 만족시키는 정수해를 모두 구하여라.

서로 소인 두 양의 정수 $a\gt b\gt 1$가 있다. 어떤 정수 $c$에 대해 $ax+by=c$를 만족하는 모든 정수의 순서쌍 $x$, $y$ 중 $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$ 값의 최소값을 $w(c)$라 하자. 만일 $w(c)\ge w(c\pm a)$이면서 $w(c)\ge w(c\pm b)$이면 정수 $c$를 로컬 챔피언이라 부르자.
모든 로컬 챔피언을 다 찾고 그 갯수도 구하여라.

모든 양의 정수 $n$에 대해 $2^m+m$이 $n$으로 나누어떨어지게 하는 정수 $m$이 존재함을 증명하라.

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