---

다음 조건을 만족하는 양의 정수의 수열 $(x_1,x_2,\ldots,x_{2011})$을 모두 구하여라: 임의의 양의 정수 $n$에 대해 \[x_1^n+2x_2^n+\cdots+2011 x_{2011}^n=a^{n+1}+1\]이 되는 양의 정수 $a$가 존재한다.
(출처)

임의의 실수 $x$, $y$에 대하여 다음 등식을 만족하는 함수 $f, g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$가 있다 하자: \[g(f(x+y)) = f(x)+(2x+y)g(y).\]함수 $f$와 $g$를 구하여라. (여기서 $\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.)
(출처)

모든 양의 정수 $n$에 대해 \[ f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1\]을 만족하게 하는 함수 $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$의 순서쌍 $(f,g)$을 모두 구하여라. 단, $f^1(n)=f(n)$이고 $k\ge2$에 대해 $f^{k}(n)=f(f^{k-1}(n))$이다. (단 $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이다.)
(출처)

임의의 양의 정수 $n$에 대해 집합 $\{2,3,4,\ldots,3n+1\}$을 $n$개의 집합으로 $3$개씩 잘 나누면 각 집합에 있는 세 수가 어떤 둔각삼각형의 세 변의 길이가 되게 할 수 있음을 보여라.
(출처)

$\min(a+b,b+c,c+a)>\sqrt{2}$이고 $a^2+b^2+c^2=3$인 세 양의 실수 $a$, $b$, $c$가 있다. 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{a}{(b+c-a)^2}+\frac{b}{(c+a-b)^2}+\frac{c}{(a+b-c)^2}\ge \frac{3}{(abc)^2}.\]
(출처)

$1000$명의 학생들이 원을 이루고 서 있다. 다음 조건을 만족하는 정수 $k$ ($100 \le k \le 300$)가 존재함을 보여라: 이 학생들 중 연속하여 서 있는 $2k$명의 학생들을 잘 고르면, 그 중 앞 쪽 절반에 있는 여학생 수와 뒷 쪽 절반에 있는 여학생 수가 동일하다.
(출처)

다음 조건을 만족하는 가장 큰 양의 정수 $k$를 구하여라. 양의 정수의 집합을 $k$개의 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_k$로 잘 나누면 모든 양의 정수 $n\ge 15$와 모든 $i\in \{1,2,\ldots,k\}$에 대해 합이 정확히 $n$이 되는 $A_i$의 서로 다른 두 원소가 반드시 존재하게 할 수 있다.
(출처)

양의 정수 $m$에 대해 $m\times m$ 모양의 총 $m^2$개의 칸으로 구성된 바둑판을 생각하자. 몇몇 칸의 가운데에는 개미가 한 마리씩 있다. 시각 0에 각 개미는 속도 1로 바둑판의 어떤 변과 평행한 방향으로 이동하한다. 서로 반대방향으로 이동하는 개미가 충돌하면 각자 시계방향 $90^\circ$로 회전하여 계속 같은 속도로 진행한다. 세 마리 이상의 개미가 만나거나 혹은 수직인 방향의 두 개미가 만나는 경우 마치 만나지 않았던 것처럼 원래 진행하던 방향대로 이동한다. 어떤 개미가 바둑판의 가장자리를 만나면 그 개미는 바둑판에서 떨어져서 다시 나타나지 않는다.
모든 개미가 다 떨어져 없어지는데 가장 시간이 오래 걸리도록 개미를 배치하고자 한다. 얼마나 오래 걸리겠는가?
(출처)

양의 정수 $n$이 주어져있다. 어떤 $W=\ldots x_{-1}x_0x_1x_2\ldots$가 글자 $a$와 $b$로 구성된 양방향으로 무한한 길이로 특정 마디가 반복되어 나타나는 나열이라고 하자. 그 최소 주기의 길이 $N$이 $2^n$보다 크다고 하자. 어떤 $k\le \ell$을 뽑아서 $W$에서 만들어낸 유한한 길이의 단어 $U=x_k x_{k+1}\cdots x_\ell$로 나타나는 경우, 이 $U$가 $W$에 나타난다고 표현하자. 어떤 단어 $U$에 대해 $Ua$, $Ub$, $aU$, $bU$가 모두 $W$에 나타날 때 이 단어를 좋은 단어라 하자. 이때 $W$에는 좋은 단어가 적어도 $n$개 이상 존재함을 증명하라.
(출처)

$2012\times 2012$ 칸으로 구성된 바둑판 모양의 탁자 위에 $52\times 52$ 형태의 칸을 덮을 수 있는 정사각형 모양의 냅킨 유한개로 덮으려고 한다. 각 칸에다가 그 칸을 덮은 냅킨의 수를 적는다고 하자. 최대한 많은 칸에 동시에 나타나는 양의 정수가 있을 때 그 나타나는 횟수를 $k$라 하자. 모든 가능한 냅킨을 덮는 상황 중에 $k$의 최대값은 얼마이겠는가?
(출처)

예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $L$을 중심으로 하는 원 $\omega$가 있다. 이 원 $\omega$가 변 $AB$와 점 $B’$에서 접하고 변 $AC$와 점 $C’$에서 접한다고 하자. 그리고 삼각형 $ABC$의 외심 $O$가 점 $B’$와 $C’$를 잇는 $\omega$의 호 중 짧은 쪽 위에 있다고 한다. 이때 삼각형 $ABC$의 외접원과 $\omega$는 두 점에서 만난다는 것을 증명하라.
(출처)

볼록사각형 $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$가 주어져 있다. 삼각형 $A_{2}A_{3}A_{4}$의 외접원의 중심을 $O_1$, 반지름을 $r_1$이라 하자. 그리고 이와 비슷하게 $i\in \{2,3,4\}$에 대해서도 $A_i$를 뺀 나머지 세 점으로 만들어지는 삼각형의 외접원의 중심을 $O_i$, 반지름을 $r_i$라 하자. 만일 $O_1\neq O_2$라면 다음 등식이 성립함을 보여라. \[\frac{1}{O_1A_1^2-r_1^2}+\frac{1}{O_2A_2^2-r_2^2}+\frac{1}{O_3A_3^2-r_3^2}+\frac{1}{O_4A_4^2-r_4^2}=0\]
(출처)

볼록사각형 $ABCD$의 변 $AD$와 $BC$가 평행하지 않다고 한다. 지름이 $AB$인 원과 지름이 $CD$인 원이 사각형 내의 두 점 $E$, $F$에서 만난다고 하자. 점 $E$에서 직선 $AB$, $BC$, $CD$ 각각에 내린 수선의 발을 동시에 지나는 원을 $\omega_E$라 하자. 점 $F$에서 직선 $AB$, $BC$, $CD$ 각각에 내린 수선의 발을 동시에 지나는 원을 $\omega_F$라 하자. 이때 선분 $EF$의 중점은 $\omega_E$와 $\omega_F$의 교점 두 개를 잇는 직선 위에 있음을 보여라.
(출처)

외심의 $\Omega$인 예각삼각형 $ABC$가 있다. 변 $AC$와 변 $AB$의 중점을 각각 $B_0$, $C_0$라 하자. 점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 삼각형 $ABC$의 무게중심을 $G$라 하자. 어떤 원 $\omega$가 점 $B_0$, $C_0$를 지나고 원 $\Omega$와 점 $X\neq A$에서 접한다고 하자. 이때 세 점 $D$, $G$, $X$가 한 직선 위에 있음을 보여라.
(출처)

내심이 $I$, 외접원이 $\omega$인 삼각형 $ABC$가 있다. 직선 $AI$, $BI$가 원 $\omega$와 만나는 $A$, $B$ 아닌 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 현 $DE$가 변 $AC$와 점 $F$에서 만나고 변 $BC$와 점 $G$에서 만난다. 점 $F$를 지나고 $AD$와 평행한 직선과 점 $G$를 지나고 $BE$와 평행한 직선이 만나는 점을 $P$라 하자. 원 $\omega$의 점 $A$에서의 접선과 점 $B$에서 접선이 점 $K$에서 만난다고 하자. 이때 세 직선 $AE$, $BD$, $KP$는 서로 평행하거나 혹은 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
(출처)

$AB=AC$인 이등변삼각형 $ABC$가 있다. 변 $AC$의 중점을 $D$라 하자. 각 $BAC$의 각이등분선이 $D$, $B$, $C$를 지나는 원과 만나는 삼각형 $ABC$ 내부의 점을 $E$라 하자. 직선 $BD$가 $A$, $E$, $B$를 지나는 원과 두 점 $B$, $F$에서 만난다고 하자. 직선 $AF$와 $BE$가 점 $I$에서 만나고 직선 $CI$와 $BD$가 점 $K$에서 만난다. 이때 삼각형 $KAB$의 내심은 $I$임을 보여라.
(출처)

중심이 $O$인 원 $\omega$에 모든 변이 접하는 볼록육각형 $ABCDEF$이 있다. 삼각형 $ACE$의 외심이 $O$와 같다고 하자. 점 $B$에서 직선 $CD$로 내린 수선의 발을 $J$라 하자. 점 $B$에서 직선 $DF$로 내린 수선이 직선 $EO$와 점 $K$에서 만난다고 하자. 점 $K$에서 직선 $DE$로 내린 수선의 발을 $L$이라 하자. 이때 $DJ=DL$임을 보여라.
(출처)

양의 정수 $d$에 대하여 $f(d)$를 정확히 $d$개의 양의 약수를 갖는 양의 정수 중 가장 작은 정수라 하자. 예를 들어, $f(1)=1, f(5)=16, f(6)=12$이다. 모든 음이 아닌 정수 $k$에 대하여 $f(2^{k})$는 $f(2^{k+1})$의 약수임을 보여라.
(출처)

서로 다른 아홉 개의 정수 $d_{1}, d_{2} , \ldots , d_{9}$에 대하여 정의된 다항식 \[P(x) = (x + d_{1})(x + d_{2}) \cdots (x+d_{9})\]에 대하여 다음 조건을 만족하는 정수 $N$이 존재함을 보여라: 임의의 정수 $n\ge N$에 대하여 $P(n)$은 20보다 큰 소수를 약수로 갖는다.
(출처)

홀수인 양의 정수 $n$이 있다. 모든 정수 $x$, $y$에 대해 $x^n-y^n$이 $f(x)-f(y)$의 배수가 되게 하는 함수 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$를 모두 구하여라. (단, $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)
(출처)

양의 정수 $k$의 가장 큰 홀수인 양수를 $t(k)$라 하자. 이때 $t(n+a)-t(n)$, $t(n+a+1)-t(n+1)$, $\ldots$, $t(n+2a-1)-t(n+a-1)$ 모두 $4$의 배수가 되게 하는 양의 정수 $n$이 존재하는 양의 정수 $a$를 모두 구하여라.
(출처)

정수 계수 다항식 $P(x)$, $Q(x)$가 있다. $P(x)$와 $Q(x)$를 동시에 나누는 일차 이상의 유리수 계수 다항식이 존재하지 않는다고 한다. 모든 양의 정수 $n$에 대해 $P(n)$과 $Q(n)$이 양수였고 $2^{Q(n)}-1$이 $3^{P(n)}-1$의 약수였다고 한다. 이때 $Q(x)$는 상수함수임을 보여라.
(출처)

홀수인 소수 $p$가 있다. 임의의 정수 $a$에 대해 \[ S_a=\frac{a}{1}+\frac{a^2}{2}+\cdots+\frac{a^{p-1}}{p-1}\]이라 하자. $S_3+S_4-3S_2=\frac{m}{n}$이 되게 정수 $m$, $n$을 구하자. 이떄 $m$은 $p$의 배수임을 보여라.
(출처)

양의 정수 $k$에 대해 $n=2^k+1$이라 하자. $n$이 소수일 필요충분조건이 아래 조건이 만족되는 것임을 증명하라.
$1,2,\ldots,n-1$의 어떤 순열 $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$과 어떤 정수의 수열 $g_1,g_2,\ldots,g_{n-1}$이 존재하여 모든 $i\in\{1,2,\ldots,n-1\}$에 대해 $g_i^{a_i}-a_{i+1}$이 $n$의 배수라고 한다. (단 $a_n=a_1$이라 한다.)
(출처)