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집합 $\mathbb Z$와 $\mathbb Q$를 각각 정수의 집합과 유리수의 집합이라 하자.
a) 집합 $\mathbb Z$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
b) 집합 $\mathbb Q$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
단 두 집합 $X,Y\subseteq \mathbb Q$에 대해 $X+Y$란 집합 $\{x+y: x\in X, y\in Y\}$를 뜻한다.

항등적으로 $0$인 다항식이 아닌 두 정수 계수 다항식 $f(x)$, $g(x)$에서 $f$의 차수가 $g$의 차수보다 크다고 한다. 식 $pf(x)+g(x)=0$에 유리수해가 존재하게 하는 소수 $p$가 무한히 많다고 할 때 $f(x)=0$ 역시 유리수해를 가진다는 것을 증명하라.

모든 실수의 집합 $\mathbb R$에 대해 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 모두 구하여라. 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 \[f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)\]이고 $f(-1)\neq 0$이다.

양의 정수의 집합 $\mathbb N$에 대해 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$이 주어져있다. 양의 정수 $m$에 대해 $m>1$이면 $f^m(x)=f(f^{m-1}(x))$으로, $f^1(x)=x$로 정의하자. 모든 $n\in \mathbb N$에 대해 $f^{2k}(n)=n+k$가 되는 $k$가 존재한다고 가정하고 그러한 $k$를 $k_n$이라 하자. 이때 임의의 $M$에 대해 수열 $k_1, k_2,\ldots$ 중에는 $M$보다 큰 수가 있음을 보여라.

어떤 양의 정수 $m$과 $n$에 대해 다항식 $P_{i,j}$들이 있어서 \[f(x_1,x_2,\ldots,x_k)=\max_{i=1,\ldots,m}\min_{j=1,\ldots,n} P_{i,j}(x_1,\ldots,x_k)\] 꼴로 표현할 수 있는 함수 $f:\mathbb R^k\to\mathbb R$을 메타다항식이라 부르자. 이때 두 메타다항식의 곱은 역시 메타다항식임을 증명하라.
(단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.)

양의 정수 여러 개가 한 행에 적혀 있다. 인접한 두 수 $x$, $y$에 대해 $x \gt y$이고 $x$가 $y$의 왼쪽에 있을 때 $(x,y)$ 쌍을 $(y+1,x)$나 $(x-1,x)$로 바꾸는 것을 시행이라 하자. 이때 무한번의 시행을 할 수는 없음을 증명하라.

양의 정수 $n$이 주어져있다. $1$부터 $n$까지의 정수 두 개로 구성된 집합들이 서로 교집합이 공집합이며 각 집합의 원소의 합이 $n$ 이하의 서로 다른 정수라고 할 때 이러한 집합들의 수의 최대값은 무엇인가?

가로로 999칸, 세로로 999칸이 있는 바둑판의 각 칸이 흰색 혹은 빨간색으로 칠해져있다. 칸 $C_1$이 칸 $C_2$와 같은 행에 있고 칸 $C_3$는 칸 $C_2$와 같은 열에 있으며 $C_1$, $C_3$는 흰색, $C_2$는 빨간색인 세 칸의 순서쌍 $(C_1,C_2,C_3)$의 수를 $T$라 하자. $T$ 값이 가능한 최대값을 구하여라.

원형으로 놓여 있는 $2012$개의 상자와 $N(\ge 2012)$개의 동전을 가지고 두 사람 $A$, $B$가 아래 게임을 한다. 처음에 $A$가 동전을 각 상자에 잘 분배해서 모든 상자에 동전이 하나 이상 있게 만든다. 그 다음에는 $B$부터 시작하여 돌아가면서 아래 규칙대로 게임을 진행한다.
(a) $B$차례가 되면 $B$는 각 상자에서 하나씩 동전을 뽑아 각각 그 옆 두 상자 중 하나로 옮긴다.
(b) $A$차례에는 $A$는 각 상자에서 방금 $B$가 건드리지 않은 동전 중 하나를 뽑아서 옆 두 상자 중 하나로 옮길 수 있다.
어떤 상자에 동전이 없어지면 $B$가 이긴다고 하고 그렇지 않으면 $A$가 이긴다. $A$가 반드시 이길 수 있는 필승전략이 존재할 $N$의 최소값을 구하여라.

가로로 $3n$칸 세로로 $3n$칸인 바둑판이 있다. $x$번째 행 $y$번째 열에 있는 칸은 $x+y$를 $3$으로 나눈 나머지가 $0$이면 빨강, $1$이면 파랑, $2$이면 노랑으로 칠해져있다. 빨강, 파랑, 노랑 각 색깔별로 $3n^2$개의 동전을 준비하여 각 칸에 하나씩 배치하였다. 만일 각 동전을 $d$칸 이내로 움직여서 각각의 빨강 동전 자리에 파랑 동전이 들어오고, 각각의 파랑 동전 자리에 노랑 동전이 왔으며, 각각의 노랑 동전 자리에는 빨강 동전이 오게 할 수 있다고 하자. 이때 각 동전을 $d+2$칸 이내로 움직여서 각 칸에 그 칸의 색깔과 같은 동전이 오게 할 수 있음을 증명하라.

원 위의 $2^{500}$개의 점에 $1$부터 $2^{500}$까지의 정수가 적당한 순서로 적혀 있다. 이 점들 중 두 점을 잇는 선분 $100$개를 잘 고르면 선분들이 서로 만나지 않으면서 각 선분의 끝점에 적힌 수의 합이 같게 할 수 있음을 보여라.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만난다고 하자. 반직선 $DA$와 $CB$가 점 $F$에서 만난다고 한다. 사각형 $ECGD$가 평행사변형이 되게 점 $G$를 잡자. 직선 $AD$에 대해 점 $E$를 대칭시켜 얻은 점을 점 $H$라 하자. 이때 $D$, $H$, $F$, $G$는 한 원 위에 있음을 보여라.

예각삼각형 $ABC$에서 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $AEF$와 $BDF$의 내심을 각각 $I_1$, $I_2$라 하자. 삼각형 $ACI_1$과 $BCI_2$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 이때 직선 $O_1O_2$와 $I_1I_2$는 평행함을 보여라.

외심이 $O$이고 변 $AB$와 변 $AC$의 길이가 다른 삼각형 $ABC$가 있다. 각 $BAC$의 이등분선이 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 점 $D$를 변 $BC$의 중점으로 대칭시켜 얻은 점을 $E$라 하자. 직선 $BC$와 수직이며 점 $D$을 지나는 직선이 직선 $AO$를 만나는 점을 $X$, 직선 $BC$와 수직이며 점 $E$를 지나는 직선이 직선 $AD$와 만나는 점을 $Y$라 하자. 이때 $B$, $X$, $C$, $Y$는 한 원 위에 있음을 보여라.

내심이 $I$이고 외심의 $O$인 삼각형 $ABC$가 있다. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $D$, $E$, $F$를 잘 잡아서 $BD+BF=CA$, $CD+CE=AB$가 되게 하였다. 삼각형 $BFD$와 $CDE$의 외접원이 점 $P(\neq D)$에서 만난다고 한다. 이때 $OP=OI$임을 증명하라.

변 $BC$와 변 $AD$가 평행하지 않은 볼록 사각형 $ABCD$가 있다. 변 $BC$ 위의 어떤 점 $E$가 있어서 사각형 $ABED$와 $AECD$ 각각 어떤 원에 내접한다고 한다. 이때 사각형 $ABCF$와 사각형 $BCDF$가 각각 어떤 원에 내접하도록 하는 점 $F$가 존재할 필요충분조건은 변 $AB$가 변 $CD$와 평행한 것임을 보여라.

삼각형 $ABC$의 외접원 $\omega$과 만나지 않는 직선 $\ell$이 있다. 원 $\omega$의 중심에서 $\ell$에 내린 수선의 발을 $P$라 하자. 직선 $BC$, $CA$, $AB$와 직선 $\ell$이 각각 $X$, $Y$, $Z$에서 만나며 이 세 점 모두 $P$와 다르다고 한다. 이때 삼각형 $AXP$, $BYP$, $CZP$의 외접원은 $P$가 아닌 공통의 점을 갖거나, 혹은 $P$에서 서로 수직으로 만난다는 것을 증명하라.

정수의 집합 $A$가 다음 조건을 만족하면 좋은 집합이라 하자.
(조건) 만일 $x,y\in A$($x=y$도 허용)이면, 모든 정수 $k$에 대해 $x^2+kxy+y^2\in A$이다.
이때 $m$, $n$을 동시에 포함하는 좋은 집합은 전체 정수의 집합밖에 없게 하는 음 아닌 정수 $m$, $n$의 쌍을 모두 구하여라.

식 \[x^3(y^3+z^3)=2012 (xyz+2)\]를 만족시키는 양의 정수 $x\le y\le z$를 모두 구하여라.

이항계수 $\binom{n}{m-2n}$이 $m/3\le n\le m/2$인 모든 정수 $n$의 배수가 되게 하는 정수 $m\ge 2$을 모두 구하여라.

음 아닌 정수 $n$에 대해 $n\le 1$이면 $rad(n)=1$로 정의하고 $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$로 소인수분해될 때, $rad(n)=p_1p_2\cdots p_k$라 정의하자. 이때 음 아닌 정수 계수로 만들어진 다항식 $f(x)$ 중에 모든 음 아닌 정수 $n$에 대해 $rad(f(n))$이 $rad(f(n^{rad(n)}))$의 약수가 되게 하는 다항식 $f(x)$를 모두 구하여라.

양의 정수 $x$, $y$가 있다. 모든 양의 정수 $n$에 대해 $x^{2^n}-1$이 $2^n y+1$의 배수라면 $x=1$임을 보여라.

$100$보다 큰 소수 $p$와 정수 $r$에 대해 $a^2+b^5-r$이 $p$의 배수가 되게 하는 정수 $a$, $b$가 존재함을 보여라.