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양의 정수 $n$에 대해 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$의 수열이 있다. 이때 $u_0=u_1=v_0=v_1=1$이고 $k=1,2,\ldots,n-1$일 때 \[ u_{k+1}=u_k+a_k u_{k-1}, v_{k+1}=v_k+a_{n-k}v_{k-1}\]이 되도록 수열 $u_0,\ldots,u_n$, $v_0,\ldots,v_n$을 정의하자. 이때 $u_n=v_n$임을 증명하라.

2000개의 서로 다른 실수의 집합에는 반드시 \[ \frac{a-b}{c-d}-1 \lt \frac{1}{100000}\]을 만족하는 두 실수쌍 $a\lt b$, $c\lt d$ ($a\neq c$, $b\neq d$)이 존재함을 증명하라.

양의 정수 $n$에 대하여 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 있다. 이제 모든 $i\ge 1$에 대해 $a_{n+i}=a_i$가 되도록 이 수열을 무한수열로 확장하자. 이때 만일 \[ a_1\le a_2\le \cdots\le a_n\le a_1+n\]이고 모든 $i=1,2,\ldots,n$일 때 $a_{a_i}\le n+i-1$이라면, \[a_1+\cdots+a_n\le n^2\]임을 증명하라.

음 아닌 정수의 집합을 $\mathbb{Z}_{\ge 0}$이라 하자. 이때, 모든 $n\in \mathbb Z_{\ge0}$에 대해 \[ f(f(f(n)))=f(n+1)+1\]을 만족하는 함수 $f:\mathbb Z_{\ge0}\to \mathbb{Z}_{\ge 0}$를 모두 구하여라.

정수 $m\neq 0$이 있다. 모든 실수 $x$에 대해 \[ (x^3-mx^2+1)P(x+1)+(x^3+mx^2+1)P(x-1)=2(x^3-mx+1)P(x)\]을 만족하는 실수 계수 다항식 $P(x)$를 모두 구하여라.

양의 정수 $n$에 대해, 다음 성질을 만족하는 가장 작은 정수 $k$를 구하여라.
합이 $n$이고 모든 $i=1,2,\ldots,d$에 대해 $0\le a_i\le 1$인 임의의 실수 $a_1,\ldots,a_d$에 대해, 이 수를 $k$개 이하의 묶음으로 잘 나누면 각 묶음 안의 수의 합이 $1$ 이하가 되게 할 수 있음을 보여라.

미친 물리학자가 어느날 실험실에서 이몬이라는 새로운 물질을 우연히 발견하게 되었따. 실험실에 있는 두 이몬끼리는 서로 엮일 수 있으며, 하나의 이몬은 여러 이몬과 엮일 수 있다. 이 물리학자는 아래와 같은 두 가지 방법의 연산을 실험실에 있는 이몬에게 적용할 수 있는 방법을 찾았다.

(i) 홀수개의 다른 이몬과 엮인 이몬은 파괴할 수 있다.
(ii) 각 이몬 $I$에 대해 그 사본 $I’$을 생성하여 전체 실험실 내 이몬을 두 배로 늘릴 수 있다. 이때 두 사본 $I’$, $J’$은 그 원본 $I$, $J$까 엮여있을때만 엮이게 되며, 각각의 사본 $I’$는 원본 $I$와 엮이게 되고, 이 외의 다른 식으로 엮인 관계가 생기거나 사라지지 않는다.

이때 이 물리학자가 이 연산들을 적절한 순서로 잘만 적용하면 서로 엮인 이몬이 없는 상태가 되도록 만들 수 있음을 보여라.

양의 정수 $n$에 대해 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합을 $A$라 하자. 이때 $A$에 속한 ‘부분’ $a_1,a_2,\ldots,a_k$의 합 $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$으로 나타내는 방법을 $n$을 $k$개로 ‘$A$-분할’한 것이라 하자. 어떤 $A$-분할의 서로 다른 ‘부분’의 수란 집합 $\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$의 (서로 다른) 원소의 수를 뜻한다.

어떤 $k$에 대해 $n$을 $r$ ($\lt k$)개로 나눈 $A$-분할이 존재하지 않으면서 $n$을 $k$개로 나눈 $A$-분할이 존재하면 이 $A$-분할은 ‘최적’이라 부르자. 이때, 임의의 최적인 $n$의 $A$-분할의 서로 다른 부분의 수는 $\sqrt[3]{6n}$ 이하임을 증명하라.

양의 정수 $r$에 대해 $a_0,a_1,\ldots$를 실수의 무한 수열이라고 하자. 모든 음 아닌 정수 $m$, $s$에 대해 \[ a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s}\]이고 $m+1$ 이상이며 $m+r$ 이하인 정수 $n$이 존재한다고 가정하자. 이때 이 수열에는 순환수열임을 보여라. 즉, 모든 $n\ge 0$에 대해 $a_{n+p}=a_n$이 성립하는 어떤 수 $p\ge 1$가 존재함을 보여라.

어떤 나라의 항공노선은 어떤 두 도시를 직항으로 왕복하는 노선으로 구성되어 있다. 임의의 도시에서 다른 도시로 여러 항공편을 갈아타고 갈 수 있었으며, 두 도시의 ‘거리’를 한 도시에서 다른 도시로 항공편으로 이동할 때 필요한 항공편 탑승 회수의 최솟값이라고 하자. 임의의 도시에서 정확히 거리 3 떨어진 도시의 수가 100개 이하였다고 한다. 이때 거리가 정확히 4 떨어진 도시를 2550개보다 많이 가진 도시는 존재하지 않음을 보여라.

두 선수 $A$, $B$가 수직선 위에서 색칠하기 게임을 한다. 선수 $A$는 4 cc의 검은색 페인트 통을 가지고 있는데, $p$ cc의 페인트는 길이가 $p$인 폐구간을 검정색으로 칠할 수 있다. 각자 차례가 되면 선수 $A$는 어떤 양의 정수 $m$을 골라 $1/2^m$ cc만큼의 페인트를 페인트 통에서 꺼내어 $B$에게 준다. 이때 $B$는 어떤 정수 $k$를 골라서 $k/2^m$부터 $(k+1)/2^m$까지의 폐구간을 검게 칠한다. (이미 그 중 일부는 검은색이었을 수 있다.) 페인트 통을 다 비웠는데도 $0$부터 $1$까지 실수 중 검은색이 아닌 것이 있으면 선수 $A$가 이긴다고 하자.
선수 $A$가 유한번만에 이 게임에서 이길 수 있는 전략이 존재하는가?

삼각형 $ABC$의 외접원을 $\omega$라 하자. 변 $AB$, $AC$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고, 원 $\omega$의 $A$를 포함하지 않는 호 $BC$의 중점을 $T$라 하자. 삼각형 $AMT$의 외접원과 $ANT$의 외접원이 변 $AC$, $AB$의 수직이등분선을 각각 점$X$, $Y$에서 만난다고 하자. 삼각형 $ABC$ 안에 점 $X$, $Y$가 있다고 하자. 두 직선 $MN$, $XY$가 만나는 점을 $K$라 할 때, $KA=KT$임을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 각 $A$, $B$의 이등분선이 맞은편 변과 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 사각형 $AEDB$의 각 변에서 한점씩 뽑아서 마름모를 만들수 있다고 한다. 이 마름모의 둔각이 아닌 각의 크기를 $\varphi$라 하자. 이때 $\varphi\le \max\{ \angle BAC,\angle ABC\}$임을 증명하라.

각 $B$가 각 $C$보다 큰 삼각형 $ABC$가 있다. 직선 $PQ$ 위에 $\angle PBA=\angle QBA=\angle ACB$이면서 $P$와 $C$ 사이에 $A$가 위치하도록 서로 다른 두 점 $P$, $Q$를 잡자. 선분 $BQ$ 내부의 어떤 점 $D$에 대해 $PD=PB$가 성립한다고 한다. 반직선 AD$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$ 아닌 점을 $R$이라 하자. 이때 $QB=QR$임을 증명하라.

볼록육각형 $ABCDEF$에서 $AB=DE$, $BC=EF$, $CD=FA$이고 $\angle A-\angle D=\angle C-\angle F=\angle E-\angle B$라 한다. 이때 대각선 $AD$, $BE$, $CF$는 한 점에서 만남을 증명하라.

양의 정수의 집합을 $\mathbb Z_{\gt 0}$이라 하자. 모든 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $mf(m)+n$이 $m^2+f(n)$의 배수가 되는 함수 $f:\mathbb Z_{\gt 0}\to \mathbb Z_{\gt 0}$를 모두 구하여라.

정수 $n^4+n^2+1$의 가장 큰 소인수가 $(n+1)^4+(n+1)^2+1$의 가장 큰 소인수와 같은 양의 정수 $n$은 무한히 많음을 증명하라.

다음 조건을 만족하는 $0$아닌 숫자들 $a_1,a_2,\ldots$의 무한 수열과 정수 $N$이 존재하는가?

모든 $k>N$에 대해 정수 $\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_1}$은 완전제곱수이다. ($\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_1}$은 $1$의 자리수가 $a_1$, $10$의 자리수가 $a_2$, $10^2$의 자리수가 $a_3$, …, $10^{k-1}$의 자리수가 $a_k$인 양의 정수이다.)

정수 $k\ge 2$가 있다. 두 사람 A, B가 아래과 같은 수게임을 한다. 게인을 시작할 때 칠판에 $k$보다 크거나 같은 어떤 정수 $n$이 적혀있다. 이때, A부터 시작해서 돌아가면서 칠판에 적힌 수 $m$을 지우고 $k\le m’\lt m$이면서 $m$과 서로소인 어떤 수 $m’$으로 바꿔적는다. 더 이상 이렇게 바꿀 수 없는 사람이 진다고 한다.
처음에 적힌 수가 $n$($\ge k$)일 때 B가 항상 이길 수 있는 전략이 존재하면 그 수 $n$을 좋다고 하고 아니면 나쁘다고 하자.
어떤 두 정수 $n,n’\ge k$에서, $k$이하인 $n$의 소인수의 집합이 $k$이하인 $n’$의 소인수의 집합과 같다고 한다. 이때, 두 수 $n$, $n’$은 함께 좋거나 함께 나쁘다는 것을 증명하라.

모든 $x\in \mathbb Q$, $a\in \mathbb Z$, $b\in \mathbb Z_{\gt 0}$에 대해 \[ f\left( \frac{f(x)+a}{b} \right) = f\left( \frac{x+a}{b}\right)\]를 만족하는 모든 함수 $f:\mathbb Q\to \mathbb Z$를 구하여라. (단, $\mathbb{Q}$는 유리수의 집합, $\mathbb{Z}$는 정수의 집합, $\mathbb{Z}_{\gt 0}$은 양의 정수의 집합이라 하자.)

양의 무리수 $\nu$와 양의 정수 $m$이 있다. 두 양의 정수 $a$, $b$가 \[ a\lceil b\nu \rceil – b\lfloor a\nu \rfloor =m\]을 만족하면 순서쌍 $(a,b)$를 좋다고 하자. 만일 $(a-b,b)$와 $(a,b-a)$가 모두 좋지 않으면서 $(a,b)$가 좋으면 $(a,b)$를 탁월하다고 하자. (이때 $\lceil x\rceil $와 $\lfloor x\rfloor $는 각각 $x-1\lt \lceil x\rceil \le x$, $x\le \lfloor x \rfloor \lt x+1$인 정수이다.)
이때, 탁월한 순서쌍의 수는 $m$의 양의 약수의 합과 같음을 증명하라.