(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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모든 자연수 $n$에 대하여, $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ 이 기약분수임을 보여라.
다음 식을 만족하는 실수 $x$를 (a) $A=\sqrt{2}$, (b) $A=1$, (c) $A=2$ 인 경우에 각각 찾아라.\[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1}\,)}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1}\,)} = A\] (단, 근호 안에는 음이 아닌 실수만이 들어갈 수 있다.)
$a$, $b$, $c$가 실수일 때 다음과 같은 $\cos x$에 대한 이차 방정식을 생각하자.\[ a\cos^2x + b\cos x + c = 0\] $a$, $b$, $c$를 사용하여 위 방정식과 같은 해를 가지는 $\cos 2x$에 대한 이차 방정식을 만들어 보아라. $a=4$, $b=2$, $c=-1$ 일 경우 이 두 방정식을 비교해 보아라.
$c$를 주어진 상수라 하자. 이 때, 빗변의 길이가 $c$가 되면서 빗변에 그은 중선의 길이가 삼각형의 나머지 두 변의 길이의 기하평균이 되는 직각삼각형을 작도하여라.
선분 $AB$의 내부에 임의의 점 $M$을 잡자. 그리고 $AM$, $MB$를 각각 한 변으로 하는 정사각형 $AMCD$, $MBEF$를 선분 $AB$에 대해 같은 쪽에 그리자. 이제 이 두 정사각형의 외접원은 $M$과 $N$에서 서로 만나며, 각각의 외접원의 중심을 $P$, $Q$라고 하자. 그리고 두 직선 $AF$와 $BC$의 교점을 $N’$이라 하자.
(a) 점 $N$과 $N’$이 일치함을 보여라.
(b) 처음에 $M$을 어떻게 고르는지와 상관없이 직선 $MN$이 고정된 한 점 $S$를 지남을 보여라.
(c) $M$이 $A$와 $B$ 사이를 움직일 때 선분 $PQ$의 중점의 자취를 구하여라.
두 평면 $P$와 $Q$가 직선 $p$에서 만난다고 하자. 주어진 점 $A$, $C$는 각각 평면 $P$, $Q$위의 점이며 둘 중 어느 것도 직선 $p$ 위에 있지 않다. 이 때, 사각형 $ABCD$가 $AB \parallel CD$ 인 등변사다리꼴이 되며 내접원을 가지도록 평면 $P$ 위의 점 $B$와 평면 $Q$ 위의 점 $D$를 작도하여라.