(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$N$은 11의 배수이고, $N/11$은 $N$의 각 자리수들의 제곱의 합과 같다. 이런 세 자리의 수 $N$을 모두 구하여라.

다음 부등식을 만족하는 $x$의 값을 모두 구하여라.\[ \frac{4x^2}{(1 – \sqrt{1+2x}\,)^2} < 2x+9\]

주어진 직각삼각형 $ABC$에서 길이 $a$인 빗변이 $BC$를 $n$등분하였다($n$은 홀수). 이렇게 나뉘어진 선분들 중에서 빗변의 중점을 포함하는 선분의 양끝점을 $A$에서 바라본 각을 $\alpha$라 하자. 이제 $A$에서 빗변에 내린 높이를 $h$라 하자. 다음을 증명하여라.\[ \tan\alpha = \frac{4nh}{(n^2-1)a}\]

$A$와 $B$에서 내린 삼각형의 높이가 각각 $h_a$, $h_b$이고 $A$로부터의 중선의 길이가 $m_a$인 삼각형 $ABC$를 작도하여라.

정육면체 $ABCDA’B’C’D’$을 생각하자. (단, 면 $ABCD$가 면 $A’B’C’D’$의 바로 위에 놓여있다.)
(a) $AC$ 위를 움직이는 점 $X$와 $B’D’$ 위를 움직이는 점 $Y$에 대해, 선분 $XY$의 중점의 자취를 구하여라.
(b) (a)와 같은 조건에서, $ZY = 2XZ$ 를 만족하는 선분 $XY$ 위의 점 $Z$의 자취를 구하여라.

어떤 원뿔의 옆면과 밑면에 동시에 내접한 구면을 생각하자. 이 구면에 원기둥이 외접해 있는데 그 원기둥의 한 면은 원뿔의 밑면에 놓여있다. $V_1$을 원뿔의 부피라 하고, $V_2$를 원기둥의 부피라 하자.
(a) $V_1 \neq V_2$ 임을 증명하여라.
(b) $V_1 = kV_2$ 를 만족하는 $k$의 최솟값을 구하고, 이 경우 원뿔의 꼭짓점에서 원뿔의 밑면의 지름을 바라보는 각을 작도하여라.

$a$와 $c$를 윗변과 밑변으로 하고 높이가 $h$인 등변사다리꼴이 주어져 있다.
(a) 이 등변사다리꼴의 대칭축 위의 점 중에서, 옆변의 양끝점을 바라보는 각이 직각인 점 $P$를 모두 찾아라.
(b) $P$에서 윗변 혹은 밑변까지의 거리를 구하여라.
(c) 이런 점 $P$가 실제로 존재할 조건을 구하여라. (생길 수 있는 여러 경우를 모두 논의하여라.)