(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$a$, $b$가 상수인 다음 연립방정식을 풀어라. \begin{align*} x+y+z &= a \\ x^2+y^2+z^2 &= b^2 \\ xy &= z^2 \end{align*} 그리고 이 연립방정식의 해 $x$, $y$, $z$가 서로 다른 양수가 되도록 하는 $a$, $b$의 조건을 구하여라.
$a$, $b$, $c$는 어떤 삼각형의 세 변의 길이이고 $T$는 그 삼각형의 넓이이다. $a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}\,T$ 임을 증명하여라. 등호는 어떤 경우에 성립하는가?
자연수 $n$에 대해, 방정식 $\cos^nx – \sin^nx = 1$ 을 풀어라.
삼각형 $P_1P_2P_3$과 그 내부의 점 $P$가 있다. 직선 $P_1P$, $P_2P$, $P_3P$가 각각 대응하는 변과 만나는 점을 $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$이라 하자. 다음의 세 수 \[ \frac{P_1P}{PQ_1}, \qquad \frac{P_2P}{PQ_2}, \qquad \frac{P_3P}{PQ_3} \] 중에서 적어도 하나는 $\leq 2$ 이고 적어도 하나는 $\geq 2$ 임을 증명하여라.
삼각형 $ABC$를 $AC=b$, $AB=c$ 이고, $\angle AMB = \omega$ 인 삼각형 $ABC$를 작도하여라. 단, $M$은 변 $BC$의 중점이고 $\omega < 90^\circ$ 이다. 이런 삼각형을 만들 수 있을 필요충분조건이 다음 식과 같음을 보여라. \[ b \tan\frac\omega2 \leq c < b \] 등호는 어떤 경우에 성립하는가?
평면 $\varepsilon$이 주어져 있고, 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A$, $B$, $C$가 평면 $\varepsilon$에 대해 같은 쪽 영역에 놓여 있다. 이 세 점에 의해 결정되는 평면이 $\varepsilon$과 평행하지 않다고 하자. 이제 평면 $\varepsilon$ 위에 임의로 세 점 $A’$, $B’$, $C’$을 잡고, $L$, $M$, $N$을 각각 선분 $AA’$, $BB’$, $CC’$의 중점이라고 하자. 이렇게 해서 만들어지는 삼각형 $LMN$의 무게중심을 $G$라 하자($L$, $M$, $N$이 삼각형을 이루지 않는 경우에 대해서는 생각하지 않는다). 점 $A’$, $B’$, $C’$이 $\varepsilon$ 위를 독립적으로 움직일 때 생기는 점 $G$의 자취는 무엇인가?