(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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다음 성질들을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하여라.
(a) 십진법으로 나타내면 마지막 자리수가 6이다.
(b) 마지막 자리수 6을 나머지 수의 맨 앞으로 옮겨서 만들어진 수는 원래 수 $n$의 네 배가 된다.

다음 부등식을 만족하는 실수 $x$를 모두 구하여라. \[ \sqrt{3-x} – \sqrt{x+1} > \frac12 \]

정육면체 $ABCDA’B’C’D’$가 주어져 있다($ABCD$와 $A’B’C’D’$가 각각 윗면과 밑면이고, 모서리 $AA’$, $BB’$, $CC’$, $DD’$은 모두 서로 평행하다). 점 $X$가 사각형 $ABCD$의 둘레를 따라 $ABCDA$의 방향으로 일정한 속도로 움직이고, 점 $Y$는 사각형 $B’C’CB$의 둘레를 따라 $B’C’CBB’$의 방향으로 같은 속도로 움직인다. 두 점 $X$와 $Y$가 각각의 출발점 $A$와 $B’$에서 동시에 출발한다고 할 때, 선분 $XY$의 중점이 움직이는 자취를 구하여라.

방정식 $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$ 을 풀어라.

원 $K$ 위에 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$가 주어져 있다. (눈금없는 자와 컴파스만을 사용하여) 사각형 $ABCD$가 어떤 원에 외접하도록 네 번째 점 $D$를 $K$ 위에 작도하여라.

이등변삼각형이 하나 주어져 있다고 하자. $r$을 그 삼각형의 외접원의 반지름이라 하고 $\rho$를 내접원의 반지름이라 하자. 두 원의 중심 사이의 거리 $d$는 다음과 같음을 증명하여라. \[ d = \sqrt{r(r-2\rho )} \]

사면체 $SABC$는 다음과 같은 성질을 갖는다: 모서리 $SA$, $SB$, $SC$, $BC$, $CA$, $AB$(또는 그 연장선들)에 모두 접하는 서로 다른 구가 다섯 개 존재한다.
(a) $SABC$가 정사면체임을 보여라.
(b) 역으로, 모든 정사면체에 대해 이런 다섯 개의 구가 존재함을 보여라.