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$p$가 주어진 실수일 때, 다음 방정식의 모든 실수해를 찾아라. \[ \sqrt{x^2-p} + 2\sqrt{x^2-1} = x \]

점 $A$와 선분 $BC$가 주어져 있다. 공간 상에서, 한 변(사선)이 $A$를 지나고 다른 한 변은 선분 $BC$와 만나는 직각을 생각하자. 이 직각의 꼭짓점의 자취를 구하여라.

모든 내각의 크기가 같은 어떤 $n$각형에서, 이웃한 변들의 길이가 다음 관계식을 만족한다. \[ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \] $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 임을 증명하여라.

주어진 수 $y$에 대해, 다음 연립방정식의 해 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$를 모두 구하여라. \begin{align*} x_5 + x_2 &= yx_1 \\ x_1 + x_3 &= yx_2 \\ x_2 + x_4 &= yx_3 \\ x_3 + x_5 &= yx_4 \\ x_4 + x_1 &= yx_5 \end{align*}

$\cos\frac\pi7 – \cos\frac{2\pi}7 + \cos\frac{3\pi}7 = \frac12$ 임을 증명하여라.

5명의 학생 $A, B, C, D, E$가 어떤 시합에 참가하였다. 누군가 경기 결과가 $ABCDE$의 순서가 될 것이라는 예상을 하였다. 그러나 이 예상은 엉터리였다. 어떤 선수도 예상한 순위가 되지 않았고, 연속된 순위가 될 것이라 예상됐던 어떤 두 선수도 실제로는 그렇지 않았다. 경기 결과가 $DAECB$의 순서가 될 것이라고 예상한 또 다른 사람이 있었다. 이 예상이 좀 더 나은 편이었다. 정확히 두 명의 선수가 예상했던 순위와 같은 결과를 얻었고, 이 예상에서 연속된 순위가 될 것이라 예상됐던 서로 겹치지 않는 두 쌍의 선수들이 실제로도 연속한 순위를 기록하였다. 이 때, 이 시합의 실제 순위를 구하여라.