(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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(a) $2^n-1$ 이 7로 나누어 떨어지는 모든 자연수 $n$을 찾아라.
(b) $2^n+1$ 이 7로 나누어 떨어지는 자연수 $n$은 존재하지 않음을 보여라.
$a$, $b$, $c$가 삼각형의 세 변의 길이라 할 때 다음을 증명하여라. \[ a^2(b+c-a) + b^2(c+a-b) + c^2(a+b-c) \leq 3abc \]
세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 삼각형 $ABC$ 안에 원이 내접해 있다. 이 내접원에 접하면서 삼각형의 각각의 변에 평행한 세 직선을 긋는다. 이런 직선 각각은 $\triangle ABC$로부터 작은 삼각형을 하나씩 잘라내게 된다. 이 작은 삼각형들 각각의 내접원을 그렸다. 이 네 내접원의 넓이의 합을 $a$, $b$, $c$에 대한 식으로 나타내어라.
17명의 사람들이 편지를 통하여 서로 의견을 나누고 있다. 각 사람들은 다른 모든 사람들과 편지를 교환환다. 이 편지들에 쓰여지는 서로 다른 화제는 오직 세 가지뿐이다. 그리고, 서로 편지를 교환하는 어떤 두 사람도 오직 하나의 화제에 대해서만 의견을 나눈다. 이 17명의 사람들 중에는 서로 같은 화제를 가지고 편지를 교환하는 세 명의 사람이 존재함을 증명하여라.
평면 위에 다섯 개의 점이 놓여 있는데, 이 점들을 잇는 어떤 두 직선도 서로 평행하거나, 수직하거나, 또는 일치하지 않는다고 하자. 각각의 점에서 그 점을 지나고, 나머지 네 점으로 이루어진 6개의 변과 수직인 직선을 그린다. 이러한 직선들이 만나는 교점의 최대 개수를 구하여라.
사면체 $ABCD$에서 $\triangle ABC$의 무게중심 $D_0$을 꼭짓점 $D$와 연결하였다. 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 $DD_0$에 평행한 직선을 그리자. 이 직선들은 평면 $BCD$, $CAD$, $ABD$와 각각 점 $A_1$, $B_1$, $C_1$에서 만난다. $ABCD$의 부피는 $A_1B_1C_1D_0$의 부피의 삼분의 일이 됨을 증명하여라. 만일 점 $D_0$이 $\triangle ABC$ 내부에서 아무렇게나 고른 점이어도 이 결과는 참이 되는가?