(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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구간 $0 \leq x \leq 2\pi$ 에서 다음 부등식을 만족하는 모든 $x$를 구하여라.\[ 2\cos x \leq \left| \sqrt{1+\sin 2x} – \sqrt{1-\sin 2x} \right| \leq \sqrt2 \]
$x_1$, $x_2$, $x_3$을 미지수로 하는 다음 연립방정식을 생각하자. \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 &= 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 &= 0 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 &= 0 \end{align*} 여기서 계수들은 다음의 조건을 만족한다.
(a) $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$은 양수이다.
(b) 그 나머지 계수들은 모두 음수이다.
(c) 각 등식에서 계수들의 합은 양수이다.
이 때, 이 연립방정식의 해는 $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ 뿐임을 보여라.
주어진 사면체 $ABCD$에서 $AB$와 $CD$의 길이를 각각 $a$와 $b$라고 하자. 꼬인 위치에 있는 두 직선 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $d$이고, 두 직선이 이루는 각도는 $\omega$이다. 사면체 $ABCD$를 $AB$와 $CD$에 모두 평행한 평면 $\varepsilon$으로 잘라 두 개의 입체로 나누었다. $\varepsilon$에서 $AB$와 $CD$까지의 거리의 비는 $k:1$ 이 된다. 잘려진 두 입체의 부피의 비를 구하여라.
어느 하나의 수와 나머지 세 수의 곱을 더한 값이 항상 $2$가 되는 네 실수 $x_1, x_2, x_3, x_4$를 모두 구하여라.
각 $AOB$가 예각인 $\triangle OAB$를 생각하자. 점 $M\neq O$ 에서 $OA$와 $OB$에 내린 수선의 발을 각각 $P$와 $Q$라고 하고, $\triangle OPQ$의 수심을 $H$라 하자. $H$의 자취를, $M$이 (a) 변 $AB$ 위를 움직일 때, (b) $\triangle OAB$의 내부에 있을 때에 대해 각각 구하여라.
평면 위에 $n$개($n\geq 3$)의 점들의 집합이 주어져 있다. 각각의 두 점은 모두 선분으로 연결되어 있으며, 이 때 가장 긴 선분의 길이를 $d$라 하자. 그리고, 길이가 $d$인 선분을 이 점집합의 `지름’이라고 정의하자. 주어진 집합의 `지름’의 개수는 많아야 $n$개임을 증명하여라.