(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

---

어떤 수학경시대회에 $A$, $B$, $C$의 세 문제가 출제되었다. 이 세 문제 중 한 문제 이상 푼 참가자는 $25$명이었다. 문제 $A$를 풀지 못한 모든 참가자들 중에서, $B$를 푼 사람의 수는 $C$를 푼 사람의 수의 두 배였다. 오직 문제 $A$만을 푼 참가자의 수는 $A$를 풀고 다른 문제를 하나 이상 푼 참가자의 수보다 한 명 많았다. 정확히 한 문제만을 푼 모든 참가자들 중에서 절반은 $A$를 풀지 못했다고 한다. 이 때, 문제 $B$만을 푼 참가자는 몇 명인가?

세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$이고, 대응하는 대각의 크기가 각각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$인 삼각형이 있다. \[ a+b = \tan\frac\gamma2(a\tan\alpha + b\tan\beta) \] 이면 이 삼각형은 이등변삼각형임을 보여라.

다음을 증명하여라: 정사면체의 외접구면의 중심에서 네 꼭짓점까지 이르는 거리의 합은 그외의 다른 점에서 네 꼭짓점까지 이르는 거리의 합보다 작다.

모든 자연수 $n$과 모든 실수 $x \neq k\pi/2^t$ ($t=0,1,…,n$; $k$는 임의의 자연수) 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. \[ \frac1{\sin 2x} + \frac1{\sin 4x} + \cdots + \frac1{\sin 2^n x} = \cot x – \cot 2^n x \]

$a_1, a_2, a_3, a_4$가 서로 다른 네 실수일 때, 다음 연립방정식을 풀어라.
\begin{align*} & & \left| a_1-a_2 \right| x_2 &{}+{}& \left| a_1-a_3 \right| x_3 &{}+{}& \left| a_1-a_4 \right| x_4 &= 1 \\ \left| a_2-a_1 \right| x_1 & & &{}+{}& \left| a_2-a_3 \right| x_3 &{}+{}& \left| a_2-a_4 \right| x_4 &= 1 \\ \left| a_3-a_1 \right| x_1 &{}+{}& \left| a_3-a_2 \right| x_2 & & &{}+{}& \left| a_3-a_4 \right| x_4 &= 1 \\ \left| a_4-a_1 \right| x_1 &{}+{}& \left| a_4-a_2 \right| x_2 &{}+{}& \left| a_4-a_3 \right| x_3 & & &= 1 \end{align*}

삼각형 $ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 임의의 점 $K$, $L$, $M$을 각각 잡았다. 삼각형 $AML$, $BKM$, $CLK$ 중 적어도 하나는 그 넓이가 삼각형 $ABC$의 넓이의 $\frac14$보다 작거나 같음을 증명하여라.