(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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$AB=a$, $AD=1$, 그리고 $\angle BAD=\alpha$ 인 평행사변형 $ABCD$가 있다. $\triangle ABD$가 예각삼각형일 때, $A, B, C, D$를 중심으로 하고 반지름이 1인 네 원이 이 평행사변형을 모두 덮을 필요충분조건은 다음과 같음을 증명하여라. \[ a \leq \cos\alpha + \sqrt3\,\sin\alpha \]

길이가 $1$보다 큰 모서리가 딱 하나인 사면체의 부피는 $1/8$ 이하임을 보여라.

$k$, $m$, $n$은 자연수이고, $m+k+1$ 이 $n+1$ 보다 큰 소수라고 하자. $c_s = s(s+1)$ 이라 할 때, 다음의 곱 \[ (c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k) \cdots (c_{m+n}-c_k) \]이 곱 $c_1c_2 \cdots c_n$으로 나누어 떨어짐을 증명하여라.

$A_0B_0C_0$과 $A_1B_1C_1$은 임의의 두 예각삼각형이다. 삼각형 $ABC$를 삼각형 $A_1B_1C_1$와 닮음이면서(꼭짓점 $A_1$, $B_1$, $C_1$이 각각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에 대응) 삼각형 $A_0B_0C_0$에 외접하는(점 $A_0$, $B_0$, $C_0$이 각각 선분 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 있음) 임의의 삼각형이라 하자. 이러한 삼각형 $ABC$들 중 넓이가 최대인 것을 찾고 그것을 작도하여라.

다음과 같은 수열 $\{c_n\}$을 생각하자. \begin{align*} c_1 &= a_1 + a_2 + \cdots + a_8 \\ c_2 &= a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_8^2 \\ &\cdots \\ c_n &= a_1^n + a_2^n + \cdots + a_8^n \\ &\cdots \end{align*} 단, $a_1,a_2,…,a_8$은 실수들이고 적어도 하나는 0이 아니다. 이 수열 $\{c_{n}\}$에서 $0$이 되는 항이 무한히 많다고 하자. $c_n = 0$ 이 되는 모든 자연수 $n$을 찾아라.

어떤 스포츠 시합에서 모두 $m$개의 메달이 $n$일 동안 수여되었다($n>1$). 첫날에는 한 개의 메달과 나머지 $m-1$ 개의 메달 중 $1/7$이 수여되었고, 둘째 날에는 두 개의 메달과 역시 나머지 메달의 $1/7$이 수여되었으며, 이런 식으로 계속되었다. 마지막 $n$번째 날에는 남은 $n$개의 메달이 모두 수여되었다. 시합은 모두 며칠 동안이었는가? 또 수여된 메달은 모두 몇 개인가?