(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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$M$은 삼각형 $ABC$의 변 $AB$ 위의 점이다. 삼각형 $AMC$, $BMC$, $ABC$의 내접원의 반지름을 각각 $r_1$, $r_2$, $r$라 하자. 또, 같은 삼각형들에 대해, $\angle ACB$ 안에 놓여 있는 방접원의 반지름을 각각 $q_1$, $q_2$, $q$라 하자. 다음을 증명하여라. \[ \frac{r_1}{q_1} \cdot \frac{r_2}{q_2} = \frac rq \]

$a$, $b$, $n$은 1보다 큰 자연수이고, 이제부터 $a$진법과 $b$진법에 대해 생각하기로 하자. $A_{n-1}$과 $A_n$는 $a$진법으로 나타낸 수들이고, $B_{n-1}$과 $B_n$는 $b$진법으로 나타낸 수들이다. 이 수들은 다음과 같은 관계가 있다:\[\left. \begin{aligned} A_n &= x_n x_{n-1} \cdots x_0, \\ B_n &= x_n x_{n-1} \cdots x_0, \end{aligned} \quad \begin{aligned} A_{n-1} &= x_{n-1}x_{n-2} \cdots x_0 \\ B_{n-1} &= x_{n-1}x_{n-2} \cdots x_0 \end{aligned} \right\} ~ \text{($x_n \neq 0$, $x_{n-1} \neq 0$)} \] 다음을 증명하여라. \[ \frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n} ~\Longleftrightarrow~ a>b \]

실수 $a_0, a_1, …, a_n, …$ 이 다음 조건을 만족한다: \[ 1 = a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \] $b_1, b_2, …, b_n, …$ 은 다음과 같이 정의된다: \[ b_n = \sum_{k=1}^n \left( 1 – \frac{a_{k-1}}{a_k} \right) \frac1{\sqrt{a_k}} \]
(a) 모든 $n$에 대하여 $0 \leq b_n < 2$ 임을 증명하여라. (b) $0 \leq c < 2$ 인 $c$가 주어져 있을 때, 충분히 큰 모든 $n$에 대해 $b_n>c$ 가 성립하도록 하는 수열 $a_0, a_1, …$ 이 존재함을 증명하여라.

집합 $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$를 원소의 곱이 서로 같은 두 집합으로 분할하는 것이 가능한 자연수 $n$을 모두 찾아라.

사면체 $ABCD$에서 $\angle BDC$는 직각이다. $D$에서 평면 $ABC$에 내린 수선의 발 $H$가 $\triangle ABC$의 수심이 된다고 하자. 다음 부등식을 증명하여라. \[ (AB+BC+CA)^2 \leq 6(AD^2+BD^2+CD^2) \] 어떤 사면체일 때 등호가 성립하는가?

평면 위에 100개의 점이 있고, 그 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다. 이 중 세 점을 골라서 만든 모든 삼각형들을 생각하자. 이 중 예각삼각형인 것은 전체의 $70$%를 넘지 않음을 증명하여라.