(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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10개의 서로 다른 두 자리 수(십진법으로)의 집합이 있으면, 원소의 합이 같은 서로소인 두 부분집합을 골라낼 수 있음을 증명하여라.

$n \geq 4$ 일 때, 원에 내접하는 임의의 사각형은 원에 내접하는 $n$개의 작은 사각형들로 분할할 수 있음을 증명하여라.

$m$과 $n$이 임의의 음이 아닌 정수일 때, \[ \frac{(2m)!\,(2n)!}{m!\,n!\,(m+n)!} \]이 정수임을 증명하여라. (단, $0!=1$.)

다음 연립부등식의 모든 양의 실수해 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$를 구하여라. \begin{align*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\leq 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\leq 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\leq 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\leq 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\leq 0 \end{align*}

모든 실수에 대해 정의되고 실수값을 갖는 함수 $f$와 $g$가 모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음 조건을 만족한다고 하자. \[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)g(y) \] $f(x)$가 항등적으로 $0$은 아닌 함수이고 모든 $x$에 대해 $|f(x)| \leq 1$ 이면, 모든 $y$에 대해 $|g(y)| \leq 1$ 임을 증명하여라.

서로 다른 4개의 평행한 평면이 주어져 있을 때, 각 평면 위에 꼭짓점이 하나씩 있는 정사면체가 존재함을 증명하여라