(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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점 $O$는 직선 $g$ 위의 점이고, $\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, …, \overrightarrow{OP_n}$은 $g$를 포함하는 평면 위에 있는 단위벡터들이며, 점 $P_1, P_2, …, P_n$은 직선 $g$에 대해 같은 쪽 영역에 놓여 있다. $n$이 홀수일 때 다음 부등식을 증명하여라. \[ \left| \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \cdots + \overrightarrow{OP_n} \right| \geq 1 \] 단, $\left|\overrightarrow{OM}\right|$은 벡터 $\overrightarrow{OM}$의 길이를 나타낸다.

$M$은 공간 위의 유한 개의 점들의 집합이고, $M$의 모든 점이 한 평면 위에 있지는 않다. 또, $M$의 임의의 두 점 $A$와 $B$에 대해, 두 직선 $AB$와 $CD$가 평행하면서 일치하지 않도록 $M$에서 다른 두 점 $C$와 $D$를 택할 수 있다. 이런 집합 $M$이 존재하는가?

$a$와 $b$는 다음 방정식 \[ x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0 \] 이 적어도 하나의 실수해를 갖도록 하는 실수들이다. 이런 모든 순서쌍 $(a,b)$들에 대해 $a^2+b^2$의 최솟값을 구하여라.

한 병사가 정삼각형 모양의 지역에서 지뢰가 있는지 검사하려고 한다. 지뢰탐색기의 작동 반경은 이 정삼각형의 높이의 절반과 같다. 이 병사는 삼각형의 한 꼭짓점에서 출발한다. 최소의 거리를 움직이면서 임무를 완수하려면 어떤 경로로 움직여야 하는가?

$G$는 실수에서 정의된 아래와 같은 꼴의 상수함수는 아닌 함수들로 이루어진 집합이다. \[ f(x) = ax+b, \qquad\text{$a$와 $b$는 실수} \] $G$가 다음 세 조건을 만족한다.
(a) $f$와 $g$가 $G$의 원소이면 $g \circ f$도 $G$의 원소이다. 단, $(g\circ f)(x) = g[f(x)]$.
(b) $f$가 $G$의 원소이면 그 역함수 $f^{-1}$도 $G$의 원소이다. 단, $f(x)=ax+b$ 의 역함수는 $f^{-1}(x)=(x-b)/a$.
(c) $G$의 모든 원소 $f$에 대해, $f(x_f)=x_f$ 를 만족하는 실수 $x_f$가 각각 존재한다.
$G$의 모든 원소 $f$에 대해 $f(k)=k$ 를 만족하는 실수 $k$가 존재함을 증명하여라.

$a_1, a_2, …, a_n$은 $n$개의 양수이고 $q$는 $0<q<1$ 인 실수이다. 다음을 만족하는 $n$개의 실수 $b_1, b_2, …, b_n$을 찾아라.
(a) $a_{k} < b_{k}$ ($k=1,2,…,n$)
(b) $q < \dfrac{b_{k+1}}{b_k} < \dfrac1q$ ($k=1,2,…,n-1$)
(c) $b_1+b_2+\cdots+b_n < \dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$