(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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A, B, C 세 사람이 다음과 같은 게임을 한다: 세 장의 카드에 정수가 하나씩 쓰여 있다. 이 세 정수를 $p$, $q$, $r$이라 하고, $0<p<q<r$ 이라고 하자. 이 카드를 섞어 각 사람에게 한 장씩 나누어준다. 그럼 각 사람은 자신이 받은 카드의 수만큼의 동전을 받는다. 그리고나서 카드를 다시 섞는데, 각자가 받은 동전은 자신이 계속 갖는다.
이러한 과정(섞기, 나눠주기, 동전받기)이 두 판 이상 이루어졌고, 마지막판이 끝났을 때 A는 20개, B는 10개, C에게는 9개의 동전이 있었다. 마지막판에 B가 $r$개의 동전을 받았다면, 첫판에서 $q$개의 동전을 받은 사람은 누구인가?

삼각형 $ABC$에서, 변 $AB$ 위에 $CD$가 $AD$와 $DB$의 기하평균이 되는 점 $D$가 존재할 필요충분조건은 다음의 부등식이 성립함을 증명하여라. \[ \sin A \sin B \leq \sin^2\frac C2 \]

어떤 정수 $n \geq 0$ 에 대해서도 $\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k}$ 은 5로 나누어 떨어지지 않음을 보여라.

$8 \times 8$ 체스판을 다음 두 조건을 만족하도록 $p$개의 겹치지 않는 직사각형으로 분할하려고 한다:
(i) 각각의 직사각형이 갖고 있는 흰 칸과 검은 칸의 개수는 같다.
(ii) $a_i$를 $i$번째 직사각형이 갖고 있는 흰 칸의 개수라 하면, $a_1 < a_2 < \cdots < a_p$ 이다.
이러한 분할이 가능한 $p$의 최댓값을 구하고, 그 $p$의 값에 대해, 가능한 $a_1, a_2, …, a_p$의 값을 모두 구하여라.

임의의 양수 $a,b,c,d$에 대해, \[ S = \frac a{a+b+d} + \frac b{a+b+c} + \frac c{b+c+d} + \frac d{a+c+d} \]의 가능한 값을 모두 구하여라.

$P$는 상수가 아닌 정수 계수의 다항식이다. $(P(k))^2=1$ 를 만족하는 정수 $k$의 개수를 $n(P)$로 나타내기로 할 때, $n(P) – \deg(P) \leq 2$ 임을 증명하여라. 단, $\deg(P)$는 다항식 $P$의 차수를 의미한다.