(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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정삼각형 $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$이 정사각형 $ABCD$의 내부에 그려져있다. 네 선분 $KL$, $LM$, $MN$, $NK$의 중점들과 여덟 선분 $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$의 중점들이 정십이각형의 열두 꼭짓점을 이룸을 증명하여라.

실수들의 어떤 유한 수열에서 임의의 연속한 일곱 항의 합은 음수이고 임의의 연속한 열한 개의 항들의 합은 양수이다. 이 수열의 항의 개수의 최댓값을 구하여라.

$n$은 주어진 2보다 큰 정수이고, $V_n$은 $1+kn$꼴의 정수들의 집합이다($k=1,2,…$). 원소 $m \in V_{n}$ 에 대해, $pq=m$ 인 $p,q \in V_n$ 가 존재하지 않으면 $m$이 $V_{n}$에서 분해불가하다고 말한다. $V_{n}$에서 분해불가인 원소들의 곱으로 표현하는 방법이 두 가지 이상 있는 $r \in V_{n}$ 이 존재함을 보여라. (단, 순서만 달리 하여 곱한 것은 같은 방법으로 간주한다.)

실수인 네 상수 $a$, $b$, $A$, $B$가 주어져 있고, \[ f(\theta) = 1 – a\cos\theta – b\sin\theta – A\cos2\theta – B\sin2\theta \]이다. 모든 실수 $\theta$에 대해 $f(\theta) \geq 0$ 이라 할 때, 다음을 증명하여라.
(a) $A^2+B^2 \le 1$
(b) $a^2+b^2 \le 1$.

$a$와 $b$는 자연수이다. $a^2+b^2$ 를 $a+b$ 로 나누었을 때의 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라 하자. $q^2+r = 1977$ 이 되는 모든 쌍 $(a,b)$를 찾아라.

$f(n)$은 자연수에서 정의되고 자연수값을 갖는 함수라고 하자. 모든 자연수 $n$에 대해 \[ f(n+1) > f(f(n)) \]이 성립할 때, 다음을 증명하여라. \[ f(n) = n \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots) \]