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$m$과 $n$은 자연수이고 $1 \leq m < n$ 이다. $1978^m$과 $1978^n$은 십진법으로 썼을 때 마지막 세 자리가 일치한다고 한다. $m+n$ 이 최솟값을 가질 때의 $m$과 $n$을 구하여라.

$P$는 주어진 구의 내부에 주어진 한 점이다. 점 $P$에서 출발하는 서로 수직인 세 반직선이 구와 만나는 점을 $U$, $V$, $W$라 하고, $PU$, $PV$, $PW$로 결정되는 평행육면체에서 $P$와 대각선으로 반대편에 있는 점을 $Q$라 하자. $P$에서의 세 반직선의 모든 가능한 위치에 대한 점 $Q$의 자취를 구하여라.

자연수 전체의 집합이 \begin{gather*} f(1) < f(2) < \cdots < f(n) < \cdots , \\ g(1) < g(2) < \cdots < g(n) < \cdots , \\ g(n) = f(f(n)) + 1 \quad (n\ge 1) \end{gather*}인 서로소인 두 집합 $\{f(1),f(2),...,f(n),...\}$, $\{g(1),g(2),...,g(n),...\}$ 의 합집합으로 나타내어진다. $f(240)$의 값을 구하여라.

$AB=AC$ 인 삼각형 $ABC$가 있다. 삼각형 $ABC$의 외접원에 내접하는 어떤 원이 변 $AB$, $AC$와도 각각 $P$, $Q$에서 접한다. 선분 $PQ$의 중점이 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심임을 증명하여라.

$\{a_k\}$ $(k=1,2,3,…,n,…)$ 는 서로 다른 자연수로 이루어진 수열이다. 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라. \[ \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^n \frac1k \]

어떤 국제 회의에 여섯 나라로부터 1978명의 사람이 참가하였고, 모든 참가자에게 1부터 1978까지의 번호가 부여되었다. 자신의 번호가 자기 나라에서 온 또 다른 두 사람의 번호의 합과 같거나, 또는 자기 나라에서 온 또 다른 사람의 번호의 두 배가 되는 참가자가 적어도 한 명 있음을 증명하여라.