(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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$p$와 $q$는 다음을 만족하는 자연수이다. \[ \frac pq = 1 – \frac12 + \frac13 – \frac14 + \cdots – \frac1{1318} + \frac1{1319} \] $p$가 1979로 나누어 떨어짐을 증명하여라.
오각형 $A_1A_2A_3A_4A_5$와 $B_1B_2B_3B_4B_5$를 윗면과 밑면으로 하는 각기둥이 있다. 두 오각형면의 모든 모서리와 $A_iB_j$ ($i,j=1,…,5$) 꼴의 모든 선분을 빨강 또는 초록으로 칠하였다. 이 오각기둥의 꼭짓점들을 꼭짓점으로 하는 모든 삼각형들 중에서 세 변이 모두 색칠된 삼각형은 항상 서로 다른 색의 두 변을 갖는다. 윗면과 밑면의 10개의 모서리들은 모두 같은 색임을 증명하여라.
평면 위의 교차하는 두 원의 한 교점을 $A$라 하자. $A$로부터 출발한 두 점이 각각 두 원을 따라 반시계방향으로 일정한 각 속도로 움직이며 각각 한 바퀴를 돈 후 동시에 $A$로 되돌아온다. 이 때, 움직이는 두 점까지의 거리가 항상 서로 같은 고정점 $P$가 이 평면 위에 존재함을 증명하여라.
평면 $\pi$와, 이 평면 위의 한 점 $P$와, $\pi$ 밖의 한 점 $Q$가 주어져 있다. 비 $(QP+PR)/QR$이 최대가 되는 $\pi$ 위의 점 $R$을 모두 찾아라.
다음의 관계식들을 만족하는 음이 아닌 실수해 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 가 존재한다. 실수 $a$의 가능한 모든 값을 구하여라. \[ \sum_{k=1}^5 kx_k = a, \qquad \sum_{k=1}^5 k^3x_k = a^2, \qquad \sum_{k=1}^5 k^5x_k = a^3 \]
점 $A$와 $E$는 어떤 정팔각형의 서로 정반대편에 있는 두 꼭짓점이다. 개구리 한 마리가 점 $A$에서부터 뛰기 시작한다. 이 개구리는 $E$를 제외한 어느 꼭짓점에서나 이웃한 두 꼭짓점 중 어느 곳으로도 뛸 수 있다. 그리고, $E$에 도착하게 되면 개구리는 더 이상 움직이지 않는다. 개구리가 정확히 $n$번만에 $E$에 도달하는 서로 다른 경로의 수를 $a_n$이라 하자. 다음을 증명하여라: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n} = \frac1{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}), \qquad n=1,2,3,\ldots \] 단, $x=2+\sqrt2$, $y=2-\sqrt2$이다.