1983 국제수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

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양의 실수에서 정의되고 양의 실수값을 갖는, 다음 조건들을 만족하는 함수 $f$를 모두 찾아라.
(i) 모든 양수 $x$, $y$에 대해 $f(xf(y)) = yf(x)$
(ii) $x \to \infty$ 일 때 $f(x) \to 0$

각각 $O_1$, $O_2$를 중심으로 하는 한 평면 위의 두 원 $C_1$, $C_2$가 서로 다른 두 점에서 만나고, 그 중 한 점을 $A$라 하자. 한 공통접선이 $C_1$과 $P_1$에서, $C_2$와 $P_2$에서 만나고, 다른 공통접선이 $C_1$과 $Q_1$에서, $C_2$와 $Q_2$에서 만난다. $P_1Q_1$의 중점을 $M_1$이라 하고, $P_2Q_2$의 중점을 $M_2$라 하자. $\angle O_1AO_2 = \angle M_1AM_2$ 임을 증명하여라.

$a$, $b$, $c$는 자연수이고 어느 두 수도 1보다 큰 공약수를 갖지 않는다. 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$에 대해 $xbc+yca+zab$꼴로 나타내어지지 않는 가장 큰 정수가 $2abc-ab-bc-ca$ 임을 보여라.

$ABC$는 정삼각형이고 $\mathcal{E}$는 선분 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 모든 점들의 집합이다($A$, $B$, $C$도 포함). 다음이 참인지 거짓인지 결정하고, 그것을 증명하여라: $\mathcal{E}$를 서로소인 두 부분집합으로 어떻게 분할해도 그 중에 직각삼각형의 세 꼭짓점을 포함하는 부분집합이 항상 있다.

어떤 세 수도 등차수열의 연속한 항을 이루지 않도록 $10^5$ 이하의 자연수들 중에서 $1983$개의 서로 다른 수를 고르는 것이 가능한가? 증명 혹은 반증하여라.

$a$, $b$, $c$가 삼각형의 세 변의 길이일 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0 \] 등호가 성립할 조건도 구하여라.

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