(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

---

$x$, $y$, $z$가 $x+y+z=1$ 를 만족하는 음이 아닌 실수들일 때, $0 \leq yz+zx+xy – 2xyz \leq 7/27$ 임을 증명하여라.

다음 조건을 만족하는 자연수 $a,b$를 한 쌍 찾고 그것을 증명하여라.
(i) $ab(a+b)$ 는 7로 나누어 떨어지지 않는다.
(ii) $(a+b)^7 – a^7 – b^7$ 은 $7^7$으로 나누어 떨어진다.

평면 위에 서로 다른 두 점 $O$와 $A$가 주어져 있다. $O$를 제외한 평면 위의 각각의 점 $X$에 대해, $OA$로부터 반시계반향으로 $OX$까지 라디안(호도)으로 잰 각도를 $a(X)$로 나타내기로 한다($0 \leq a(X) < 2\pi$). $O$를 중심으로 하고 반지름 $OX + a(X)/OX$ 인 원을 $C(X)$라 하자. 평면 위의 모든 점을 유한 개의 색깔로 색칠하였다. $a(Y) > 0$ 이고 $Y$의 색이 $C(Y)$의 원주 위에도 나타나는 점 $Y$가 존재함을 증명하여라.

$ABCD$는 $AB$를 지름으로 하는 원에 직선 $CD$가 접하는 볼록사각형이다. $CD$를 지름으로 하는 원에 직선 $AB$가 접할 때, 또 그 때만, 두 직선 $BC$와 $AD$가 평행함을 증명하여라.

$n$개의 꼭짓점($n>3$)을 갖는 평면 위의 어떤 볼록다각형의 모든 대각선의 길이의 합을 $d$라 하고, 둘레의 길이를 $p$라 하자. 다음을 증명하여라. \[ n-3 < \frac{2d}p < \bigg[ \frac n2 \bigg] \bigg[ \frac{n+1}2 \bigg] – 2 \] 단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수를 나타낸다.

$a$, $b$, $c$, $d$는 $0<a<b<c<d$ 이고 $ad=bc$ 인 홀수들이다. 적당한 정수 $k$와 $m$에 대해 $a+d=2^k$ 이고 $b+c=2^m$꼴이 된다면, $a=1$ 임을 증명하여라.