(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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원에 내접하는 사각형 $ABCD$가 주어져 있다. 변 $AB$ 위에 중심이 있고 사각형의 나머지 세 변과 접하는 원이 존재할 때, $AD+BC=AB$ 임을 증명하여라.
$n$과 $k$는 주어진 서로소인 자연수로, $k<n$ 이다. 집합 $M=\{1,2,…,n-1\}$ 의 각각의 원소들을 파란색이나 흰색으로 칠하였다.
(i) 각각의 $i \in M$ 에 대해, $i$와 $n-i$ 는 같은 색이다.
(ii) $i \neq k$ 인 모든 $i \in M$ 에 대해, $i$와 $|i-k|$ 는 같은 색이다.
위의 조건이 성립한다고 할 때, $M$의 모든 원소들이 같은 색임을 증명하여라.
임의의 정수 계수 다항식 $P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_kx^k$ 에 대해 홀수인 계수의 개수를 $w(P)$로 나타내기로 하자. $i=0,1,…$ 에 대해 $Q_i(x) = (1+x)^i$ 으로 두자. $0 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ 을 만족하는 정수 $i_1,i_2,…,i_n$ 에 대해, 다음을 증명하여라. \[ w(Q_{i_1} + Q_{i_2} + \cdots + Q_{i_n}) \geq w(Q_{i_1}) \]
26보다 큰 소인수를 갖지 않는 1985개의 서로 다른 자연수들로 이루어진 집합 $M$이 주어져 있다. $M$에 그 곱이 어떤 정수의 네제곱이 되는 서로 다른 네 원소가 존재함을 증명하여라.
$O$를 중심으로 하는 한 원이 삼각형 $ABC$의 두 꼭짓점 $A$와 $C$를 지나며 변 $AB$, $BC$와 서로 다른 두 점 $K$, $N$에서 각각 다시 만난다. 삼각형 $ABC$와 $KBN$의 외접원들은 서로 다른 두 점 $B$와 $M$에서 만난다. 각 $OMB$가 직각임을 보여라.
모든 실수 $x_1$에 대해, 수열 $x_1,x_2,…$ 을 다음과 같이 만들자.\[x_{n+1} = x_n \left( x_n + \frac1n \right) \qquad(n \geq 1)\]모든 $n$에 대해 다음이 성립하는 $x_1$의 값은 정확히 하나임을 증명하여라.\[0 < x_n < x_{n+1} < 1\]