(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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$d$는 2, 5, 13이 아닌 자연수이다. 집합 $\{2,5,13,d\}$에서 $ab-1$ 이 완전제곱수가 아닌 서로 다른 두 수 $a$, $b$를 찾을 수 있음을 보여라.
평면 위에 삼각형 $A_1A_2A_3$과 점 $P_0$이 주어져 있다. 모든 $s \geq 4$ 에 대해 $A_s = A_{s-3}$ 으로 정의하자. 이제 점 $P_1, P_2, P_3, …$ 들을 작도하는데, 각각의 $k=0, 1, 2, …$ 에 대해, 점 $A_{k+1}$을 중심으로 $P_k$를 시계방향으로 $120^\circ$ 회전하여 얻은 상을 $P_{k+1}$라 하자. $P_{1986} = P_0$ 이라면, 삼각형 $A_1A_2A_3$이 정삼각형임을 증명하여라.
정오각형의 각 꼭짓점에 정수가 하나씩 부여되어 있고 그 다섯 수의 합은 양수이다. 연속하는 세 꼭짓점의 수가 각각 $x$, $y$, $z$이고 $y < 0$ 이라면, 세 수 $x$, $y$, $z$를 각각 $x+y$, $-y$, $z+y$ 로 바꿀 수 있다. 다섯 개의 정수들 중에 음수가 하나라도 남아있으면 이런 작업이 계속 수행된다. 이 절차가 항상 유한 번만에 끝나는지 알아내어라.
$A$, $B$는 점 $O$를 중심으로 하는 정$n$각형($n \geq 5$)의 이웃한 꼭짓점이다. 삼각형 $XYZ$는 처음에 삼각형 $OAB$와 일치하는 삼각형으로 시작하여 $OAB$와 닮음을 유지하면서 평면 위를 움직이는데, $Y$와 $Z$는 이 다각형의 둘레 전체를 따라 움직이고 $X$는 계속 다각형의 내부에 놓여야 한다. $X$의 자취를 구하여라.
음이 아닌 실수에서 정의되고 음이 아닌 실수값을 갖는, 다음 성질을 만족하는 함수 $f$를 모두 찾아라.
(i) 모든 $x, y \geq 0$ 에 대해 $f(xf(y)) f(y) = f(x+y)$
(ii) $f(2) = 0$
(iii) $0 \leq x < 2$에 대해 $f(x) \neq 0$
좌표평면 위에 정수 좌표를 갖는 유한 개의 점으로 이루어진 집합이 주어져 있다. 이 점들 중 몇 개는 빨간 색으로, 나머지는 하얀 색으로 칠하여, 두 좌표축 중 하나에 평행한 임의의 직선 $L$에 대해 직선 $L$ 위의 빨간 점의 수와 흰 점의 수의 차가 1 이하가 되도록 하는 것이 항상 가능한가?