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집합 $\{1, \dots, n \}$의 순열중에서 정확하게 $k$개의 부동점을 갖는 것들의 개수를 $P_n(k)$라고 하자. $\sum_{k=0}^n k P_n(k) = n!$ 임을 증명하여라.

예각삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 $BC$와 $L$에서 만나고, 또한 삼각형 $ABC$의 외접원과 $N$에서 만난다. 점 $L$에서 $AB$와 $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $K$와 $M$이라 하자. 사각형 $AKNM$과 삼각형 $ABC$의 넓이가 같음을 보여라.

$x_1, x_2, \dots, x_n$은 $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ 을 만족하는 실수들이라고 하자. $k \ge 2$ 인 정수 $k$에 대하여, 다음 조건을 만족하는, 모두 0은 아닌 정수 $a_1, a_2, \dots, a_n$이 존재함을 보여라.
(i) 모든 $i$에 대해서, $|a_i| \leq k-1$.
(ii) $|a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n| \leq \dfrac{(k-1) \sqrt n}{k^n-1}$.

정의역과 치역이 모두 음이 아닌 정수들의 집합인 함수 중에서, 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ f(f(n)) = n+1987\]을 만족하는 함수 $f$는 존재하지 않음을 증명하여라.

$n$을 3 이상인 정수라 하자. 다음 조건들을 만족하는 평면 위의 $n$개의 점들의 집합이 있음을 증명하여라.
(i) 어떤 두 점 사이의 거리도 무리수이다.
(ii) 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않으면서 넓이가 유리수인 삼각형을 결정한다.

$n$을 2 이상의 자연수라 하자. $0 \leq k \leq \sqrt{\dfrac n3}$ 인 모든 정수 $k$에 대해 $k^2+k+n$ 이 항상 소수가 된다면, $0 \leq k \leq n-2$ 인 모든 정수 $k$에 대해서도 $k^2+k+n$ 이 항상 소수가 됨을 증명하여라.