1988 국제수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

오스트레일리아 캔버라.

한국대표팀: 종합 22위 (첫 출전)

  • 단장: 장건수 (연세대)
  • 부단장: 최영한 (KAIST)
  • 대표학생: 김기홍 (경주고3, 동메달), 김복기 (한밭고2, 동메달), 김영훈 (광덕고3, 동메달), 류호진 (대전과고2), 송수빈 (대전과고2), 추요한
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평면 위의 반지름이 각각 $R$과 $r$인$(R>r)$ 두 동심원을 생각하자. $P$는 작은 원 위에 있는 고정된 점이고 $B$는 큰 원 위에서 움직이는 점이다. 직선 $BP$는 점 $C$에서 큰 원과 다시 만난다. $P$를 지나고 $BP$에 수직인 직선 $L$은 점 $A$에서 작은 원과 다시 만난다(직선 $L$이 $P$에서 작은 원의 접선인 경우에는 $A=P$).
(1) $BC^2 + CA^2 + AB^2$ 의 가능한 값들을 모두 구하여라.
(2) 선분 $AB$의 중점의 자취를 구하여라.

$N$은 자연수이고, $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$은 집합 $B$의 부분집합들이다. 다음 세 조건을 가정하자.
(a) 각각의 $A_i$는 $2n$개의 원소를 갖는다.
(b) 각각의 $A_i \cap A_j$ $(1 \leq i < j \leq 2n+1)$ 는 꼭 한 개의 원소만을 갖는다.
(c) $B$의 각 원소는 적어도 두 개의 $A_i$에 속한다.
$B$의 각 원소에 0이나 1을 대응시켜서 각각의 $A_i$가 0에 대응되는 원소를 꼭 $n$개만 갖도록 하려고 한다. 이 조건을 만족할 수 있는 $n$의 값들을 모두 구하여라.

자연수들의 집합 위에서 정의되는 함수 $f$가 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 만족한다. \begin{align*} f(1) &= 1, ~~~~~ f(3)=3, ~~~~~ f(2n)=f(n), \\ f(4n+1) &= 2f(2n+1)-f(n) \\ f(4n+3) &= 3f(2n+1)-2f(n) \end{align*} $f(n)=n$ 을 만족하고 1988보다 작거나 같은 자연수 $n$의 개수를 구하여라.

다음 부등식을 만족하는 실수들의 집합은 서로 겹치지 않는 구간들의 합집합이고, 그 구간들의 길이의 합은 1988임을 증명하여라.\[ \sum_{k=1}^{70} \frac k{x-k} \geq \frac54\]

$\angle A$를 직각으로 하는 직각삼각형 $ABC$에서 $AD$는 빗변 $BC$에 내린 높이이다. $\triangle ABD$ 와 $\triangle ACD$의 두 내심을 잇는 직선이 변 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $K$, $L$이라 하자. $S$와 $T$를 각각 $\triangle ABC$와 $\triangle AKL$의 넓이라고 할 때, $S \geq 2T$ 임을 증명하여라.

$a$와 $b$는 자연수이고 $a^2+b^2$ 은 $ab+1$ 로 나누어떨어진다. \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1}\]은 완전제곱수임을 보여라.

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