(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
독일 브라운슈바이크
한국대표팀: 종합 28위
- 단장: 윤옥경 (서울대)
- 부단장: 김하진 (아주대)
- 대표학생: 김복기 (한밭고2), 민조홍 (경기과고2), 박희진 (중동고3), 이동훈 (청주고3), 정진민 (경기과고2), 황규완 (경기과고2, 은메달)
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집합 $\{1, 2, \dots, 1989\}$는 다음 두 조건을 만족시키는 서로소인 부분집합 $A_i$ ($i=1, 2, \ldots, 117$) 들의 합집합으로 나타낼 수 있음을 증명하여라.
(i) 모든 $i$에 대하여, 집합 $A_i$는 17개의 원소를 가지고,
(ii) 집합 $A_i$의 모든 원소의 합은 모두 같다.
예각삼각형 $ABC$에서, $\angle A$의 이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 다시 만나는 점을 $A_1$이라 하고, 점 $B_1$과 $C_1$도 같은 방법으로 정의하자. 또, 직선 $AA_1$이 두 점 $B$와 $C$에서의 외각의 이등분선과 만나는 점을 $A_0$이라 하고, 점 $B_0$과 $C_0$도 같은 방법으로 정의하자. 삼각형 $A_0B_0C_0$의 넓이는 육각형 $AC_1BA_1CB_1$의 넓이의 두 배와 같고, 삼각형 $ABC$의 넓이의 네 배 이상임을 증명하여라.
$n$과 $k$는 자연수이고, $S$는 다음 조건을 만족시키는 평면 위의 $n$개의 점으로 된 집합이다: $S$의 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않고, $S$의 각 점 $P$에 대하여 어떤 $k$개 이상의 점들이 $P$로부터 같은 거리에 있다.\[ k < \frac12 + \sqrt{2n}\]임을 증명하여라.
$AB=AD+BC$ 인 볼록사각형 $ABCD$가 있다. 이 사각형의 내부에 변 $CD$로 부터의 거리가 $h$이고, $AP=h+AD$, $BP=h+BC$ 인 점 $P$가 있다고 한다. \[ \frac1{\sqrt h} \geq \frac1{\sqrt{AD}} + \frac1{\sqrt{BC}}\]임을 보여라.
임의의 자연수 $n$에 대하여, 소수이거나 소수의 거듭제곱인 항이 없는 연속한 $n$개의 자연수가 존재함을 증명하여라.
자연수 $n$에 대해, 집합 $\{1, 2, \dots, 2n\}$의 순열 $(x_1, x_2, \dots, x_{2n})$ 이 이웃한 두 항의 차가 $n$이 되는 경우를 가지면 이 순열이 성질 $P$를 갖는다고 한다. 각각의 자연수 $n$에 대하여, 성질 $P$를 가지는 순열이 성질 $P$를 갖지 않는 순열보다 더 많음을 증명하여라.