1991 국제수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

스웨덴 시그투나

한국대표팀: 종합성적 17위

  • 단장: 김성기 (서울대)
  • 부단장: 조승제 (서울대), 고기형 (KAIST)
  • 대표학생: 권재균 (대구과고2, 동메달), 박종원 (서울과고2, 동메달), 박지웅 (서울과고2, 동메달), 신종현 (서울과고3), 이승균 (영동고3, 동메달), 최병희 (서울과고 3, 은메달)
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$\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서의 내각의 이등분선이 대변과 만나는 점을 각각 $A’$, $B’$, $C’$이라 하자. $\triangle ABC$의 내접원의 중심을 $I$라 할 때, \[ \dfrac14<\dfrac{\overline {AI}\cdot\overline {BI}\cdot\overline {CI}} {\overline {AA'}\cdot\overline {BB'}\cdot\overline {CC'}}\leq\dfrac8{27}\]임을 보여라.

$n>6$ 인 자연수 $n$에 대하여 $n$보다 작으면서 $n$과 서로소인 자연수들을 모두 모아 $a_1,a_2,…,a_k$라 하자. 이 때 \[ a_2-a_1 = a_3-a_2 = \cdots = a_k-a_{k-1} > 0\]이면, $n$은 소수이거나 2의 거듭제곱임을 보여라.

집합 $S=\{1,2,3,…, 280\}$의 $n$개의 원소를 갖는 임의의 부분집합이 서로소(두개씩)인 원소를 적어도 $5$개 포함하도록 하는 최소의 자연수 $n$을 구하라.

$n$개의 변을 가지는 연결된 그래프 $G$의 각 변에 다음 조건을 만족시키도록 $1,2,3,\dots,$ $n$의 번호를 붙일 수 있음을 보여라.

$\deg v \ge 2$인 $v\in V(G)$에 대해, $v$를 끝점으로 갖는 모든 변에 붙여진 번호의 최대공약수는 1이다.

$\triangle ABC$의 내부에 있는 점 $P$에 대하여 $\angle PAB, \angle PBC, \angle PCA$중 적어도 하나는 $30^\circ$를 넘지 않음을 보여라.

실수로 이루어진 무한수열 $x_0, x_1, x_2,\ldots$이 있다. 모든 $i=1,2,\ldots$에 대하여 \[\lvert x_i\rvert \leq C \]인 상수 $C$가 존재하면 이 무한수열을 유계라고 한다.
$a>1$인 상수 $a$가 주어졌을때, $i\neq j$인 모든 $i,j=0,1,2,\ldots$에 대하여 \[\lvert x_i-x_j\rvert \lvert i-j\rvert^a\geq 1\]을 만족시키는 유계인 무한수열 $x_0, x_1, x_2,\ldots$의 예를 만들어라.

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