1993년 7월 18일-19일. 터키. 하루 4시간 30분 3문제씩 이틀.
한국대표팀: 15위
- 단장: 정동명 (서강대)
- 부단장: 박대현 (연세대), 김명환 (서울대)
| Contestant |
P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | Total | Rank | Award | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Abs. | Rel. | |||||||||
| Team results | 24 | 31 | 6 | 8 | 30 | 17 | 116 | 15 | 80.56% | S, S, S, B, B, B |
| 김상현 (서울과학고3) | 7 | 7 | 0 | 1 | 7 | 2 | 24 | 59 | 85.92% | Silver medal |
| 박준홍 (경문고3) | 7 | 7 | 1 | 2 | 4 | 2 | 23 | 66 | 84.22% | Silver medal |
| 윤한샘 (경남과학고3) | 1 | 7 | 5 | 0 | 7 | 2 | 22 | 73 | 82.52% | Silver medal |
| 이은수 (서울과학고3) | 1 | 4 | 0 | 4 | 3 | 7 | 19 | 102 | 75.49% | Bronze medal |
| 정성택 (부산과학고2) | 1 | 4 | 0 | 1 | 5 | 4 | 15 | 143 | 65.53% | Bronze medal |
| 김다노 (서울과학고2) | 7 | 2 | 0 | 0 | 4 | 0 | 13 | 161 | 61.17% | Bronze medal |
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$n$은 $n>1$인 정수이고, $f(x)=x^n + 5x^{n-1} +3$이라고 하자. $f(x)$를 각각의 차수가 1이상이고 정수 계수를 가지는 두 개의 다항식의 곱으로 표시할 수 없음을 증명하여라.
예각 삼각형 $ABC$의 내부의 점 $D$가 다음의 조건을 만족시킨다고 하자.\[\angle ADB=\angle ACD+90^\circ\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AD}\cdot \overline{BC}\]
(a) $\frac {\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{\overline{AC}\cdot\overline{BD}}$의 값을 구하여라.
(b) 점 $C$에서 삼각형 $ACD$의 외접원에 그은 접선과 삼각형 $BCD$의 외접원에 그은 접선이 서로 수직임을 증명하여라.
무한 바둑판에서 다음과 같은 경기를 한다고 하자.
먼저, $n^2$개의 바둑알을 한 칸에 한 개씩, 가로 세로 각각 $n$개의 인접한 칸으로 이루어진 $n\times n$꼴의 정사각형이 되도록 배열한다. 바둑알은 그 자신의 상하좌우 중에서 어느 한 방향으로 인접한 칸에 바둑알이 놓여 있고 그 다음 칸이 비어 있는 경우에만, 그 빈 칸으로 건너 뛸 수 있다. 그리고 이렇게 건너 뛸 경우 중간에 있던 바둑알은 들어 낸다.
이렇게 진행된 경기가 바둑알이 한개만 남은 상태로 끝날 수 있기 위한 $n$의 값을 모두 구하여라.
평면 위의 세 점 $P, Q, R$에 대하여, 삼각형 $PQR$의 세 개의 높이 중 최소값을 $m(PQR)$로 표시하자.(단, $P, Q, R$이 한 직선 위에 있으면 $m(PQR)=0$이라고 한다.) 평면 위에 점 $A, B, C$가 주어졌을 때, 같은 평면 위의 임의의 점 $X$에 대하여 다음을 증명하여라.
\[m(ABC)\le m(ABX) +m(AXC)+m(XBC).\]
$\mathbb N=\{1, 2, 3, \cdots \}$ 이라고 하자. 다음의 조건을 만족시키는 함수 $f: \mathbb N \to \mathbb N$의 존재 여부를 밝혀라.
$f(1)=2$.
모든 $n\in \mathbb N$에 대하여 $f(f(n))=f(n)+n$이고 모든 $n\in \mathbb N$에 대하여 $f(n) < f(n+1)$
$n$을 $n >1$인 정수라고 하자. $n$개의 전등 $L_0, L_1, \cdots , L_{n-1}$이 원형으로 배열되어 있다. 각 전등은 ON상태이거나 OFF상태이다.
일련의 조작 $S_0, S_1, \cdots , S_i \cdots $를 다음과 같이 실행하자.
조작 $S_j$는 전등 $L_j$에 대해서만 실행하는 것으로서 (즉, 다른 전등의 상태에는 아무런 영향을 주지 않음):
$L_{j-1}$이 ON상태일 경우, 조작 $S_j$는 $L_j$의 상태가 ON이면 OFF로,
OFF이면 ON으로 바꾼다.;
$L_{j-1}$이 OFF상태일 경우, 조작 $S_j$는 $L_j$의 상태를 바꾸지 않고 그대로 둔다.
전등의 번호는 mod n으로 붙여진 것이다. 즉, \[L_{-1} = L_{n-1},\quad L_0=L_n,\quad L_1=L_{n+1}, \quad \cdots \] 처음에는 모든 전등이 ON상태라고 가정할 때, 다음을 증명하여라.
(a) 적당한 자연수 $M(n)$이 존재하여, $M(n)$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON상태가 된다.
(b) $n$이 $2^k$의 꼴이면, $n^2-1$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON 상태가 된다.
(c) $n$이 $2^k+1$의 꼴이면, $n^2-n+1$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON상태가 된다.