제 35회 국제수학올림피아드(International Mathematical Olympiad)
1994년 7월 13일-14일 홍콩.

하루 4시간 30분, 3문제씩.

한국대표팀: 전체 13위. (금: 40점 이상, 은: 30점 이상, 동: 19점 이상. 만점:42점.)

• 단장: 박대현 (연세대)
• 부단장: 박화신 (전북대), 방승진 (아주대)

Contestant	P1	P2	P3	P4	P5	P6	Total	Rank		Award
								Abs.	Rel.
Team results	24	35	42	33	36	0	170	13	82.35%	S, S, B, B, B, B
이승준 (서울과학고2)	7	7	7	7	7	0	35	49	87.50%	Silver medal
김다노 (서울과학고3)	2	7	7	7	7	0	30	88	77.34%	Silver medal
이경용 (상문고2)	1	7	7	7	6	0	28	102	73.70%	Bronze medal
신석우 (서울과학고1)	0	7	7	7	7	0	28	102	73.70%	Bronze medal
김진태 (서울과학고3)	7	7	7	1	3	0	25	126	67.45%	Bronze medal
허충길 (경남과학고2)	7	0	7	4	6	0	24	132	65.89%	Bronze medal

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$m, n$은 자연수이고 $a_1, a_2, \cdots , a_m$은 집합$\{1, 2,\cdots , n\}$의 서로 다른 원소들로서 다음의 조건을 만족시킨다고 하자.
만약 $a_i+a_j\leqq n\quad (1\leqq i\leqq j\leqq m)$이면 적당한 $k(1\leqq k\leqq m)$가 존재하여 $a_i+a_j=a_k$이다.
이때 부등식 \[\frac {a_1+a_2+\cdots + a_m}m \geqq \frac {n+1}2\]을 증명하라.

$ABC$는 $AB=AC$인 이등변 삼각형이다.
(i) $M$은 $BC$의 중점이고, $O$는 직선 $AM$상에 있고 $OB$가 $AB$에 수직이 되게 하는 점이다.
(ii) $Q$는 $B, C$와 다른 점으로 선분 $BC$상의 임의의 점이다.
(iii) $E$는 직선 $AB$상에 있고 $F$는 직선 $AC$상에 있는 점으로, $E, Q, F$는 서로 다른 점이고 동일 직선 상에 있다.
이때, $OQ$가 $EF$에 수직일 필요충분조건은 $QE=QF$임을 증명하라.

임의의 자연수 $k$에 대하여 $f(k)$는 집합 $\{k+1, k+2, \cdots ,2k\}$의 원소들 중 이진법으로 표시했을 때 정확히 세 개의 1만을 자리수로 갖는 수들의 개수라 하자. 이때
(a) 각 자연수 $m$에 대하여 $f(k)=m$을 만족시키는 자연수 $k$가 적어도 하나 있음을 증명하라.
(b) 위의 방정식을 만족시키는 $k$가 단 한개만 존재하는 자연수 $n$을 모두 구하라.

$\displaystyle \frac {n^3+1}{mn-1}$이 정수가 되게 하는 자연수들의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하라.

$S$을 $-1$ 보다 큰 실수들의 집합이라 하자. 이때 다음 조건들을 만족시키는 함수 $f:S\to S$를 모두 구하라.
(i) $S$에 있는 모든 $x, y$에 대하여 \[f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),\]
(ii) 함수 $\frac {f(x)}x$는 구간 $-1 < x<0$에서 강증가하고 또한 구간 $0<x$
에서도 강증가한다.
단, 함수 $g(x)$가 한 구간에서 강증가한다는 것은 그 구간 상에 있는 임의의
두 점 $x<y$에 대하여 $g(x) < g(y)$임을 뜻한다.

다음의 성질을 만족시키는 자연수들의 한 부분집합 $A$가 존재함을 보여라. :
소수들로 이루어진 임의의 무한집합 $S$에 대하여, 자연수 $k\geqq 2$ 와 $S$의 서로 다른 $k$개의 원소들의 곱으로 표시되는 두 자연수 $m\in A$ 과 $n\not\in A$이 존재한다.