아르헨티나 마르델플라타

한국대표팀: 11위

• 단장: 김홍오 (KAIST)
• 부단장: 김도한 (서울대), 김명환 (서울대), 방승진 (아주대), 진교택 (KAIST)
• 대표학생: 고영일 (서울과고2, 은메달), 공유식 (영동고2, 은메달), 김범식 (서울과고2, 은메달), 김현기 (경기과고2, 은메달), 우지철 (서울과고3, 금메달), 이지운 (서울과고3, 은메달)

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좌표평면에서 $x$, $y$축 모두 정수좌표점을 갖는 점을 격자점이라하자. 평면의 각 단위사각형들이 체스판처럼 번갈아가며 검은색,흰색이 칠해져 있다. 자연수 $m$, $n$에 대해, 빗변이 아닌 변의 길이가 각각 $m$, $n$이고, 그 두 변이 각각 $x$, $y$축과 평행하고, 꼭짓점이 격자점으로 이루어진 직각삼각형을 생각할 때, 그 삼각형의 내부에 있는 검은색을 갖는 영역의 넓이를 $S_1$, 흰색을 갖는 영역의 넓이를 $S_2$라 할때, $f(m, n)=|S_1-S_2|$라 하자.
(a) $m, n$이 모두 홀수이거나, 모두 짝수인 경우에 $f(m, n)$을 구하라.
(b) $f(m, n) \leq \{\max(m, n)\}/2$이 항상 성립함을 보여라.
(c) 모든 $m, n$에 대해 $f(m, n)\leq C$ 인 상수 $C$가 존재하지 않음을 보여라.

각 $A$를 삼각형 $ABC$의 가장 작은 각이라 하자.점 $U$는 삼각형 $ABC$의 외접원상의 점으로, 호 $BC$중 $A$가 포함되지 않는 쪽에 있다. (단, $U$는 $B$나 $C$와 일치하지않는다.) $AB$와 $AC$의 수직이등분선이 $AU$와 각각 $V, W$에서 만난다하자. 또, $BV$와 $CW$의 교점을 $T$라 하자. 이 때, $AU=TB+TC$ 임을 보여라.

$x_1, x_2, \cdots x_n$을 다음을 만족하는 실수라 하자. \[|x_1+\cdots+x_n|=1,\quad |x_i|\leq \frac{(n+1)}{2}\quad (i=1, 2, …, n).\]이 때, 다음의 만족하는 $x_1, x_2, …, x_n$의 순열 $y_1, y_2, …, y_n$이 존재함을 보여라.\[|y_1+2\times y_2+\cdots+i\times y_i+\cdots n\times y_n|\leq\frac{(n+1)}{2}\]

$S=\{1, 2, …, 2n-1\}$의 원소들로 이루어진 $n\times n$행렬이 다음 조건을 만족하면 “좋은”행렬이라고 부르자.

$i=1, 2, …, n$에 대해, $i$번째 행의 모든 원소와 $i$번째 열의 모든 원소의 합집합은 $S$와 같다.

(a) $n=1997$일때, “좋은”행렬은 존재하지 않음을 보여라.
(b) “좋은”행렬이 존재하는 $n$은 무한히 많음을 보여라.

다음을 만족하는 자연수쌍 $(a, b)$를 모두 구하라.\[a^{(b^2)}=b^a\]

자연수 $n$에 대해, $f(n)$을, $n$을 $2^k$들의 합($k$는 0이상의 정수)으로 표시하는 방법의 수라 하자. 단 더하는 순서만 다른 합은 같은 것으로 취급한다.예를들어 4는 4, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 의 4가지 방법이 있으므로, $f(4)=4$이다. $n\geq 3$에 대해 다음을 증명하라.\[2^{\frac{n^2}{4}}<f(2^n)<2^{\frac{n^2}{2}}\]