(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

루마니아 부쿠레슈티

한국대표팀: 7위

• 단장: 진교택 (KAIST)
• 부단장: 송용진 (인하대)
• 대표학생: 구제린 (서울과고3, 은메달), 박영한 (경기과고2, 금메달), 안형준 (서울과고3, 은메달), 이승협 (서울과고1, 은메달), 최서현 (서울과고2, 금메달), 한린 (서울과고3, 금메달)

---

다음의 조건을 만족시키면서 적어도 3개 이상의 점을 가진 평면 위의 유한집합 $S$를 모두 구하라.

$S$의 임의의 서로 다른 두점 $A$, $B$에 대하여 선분 $AB$의 수직이등분선이 $S$의 대칭축이 된다.

$n\ge 2$ 인 정수 $n$이 주어져 있다.
(a) 모든 실수 $x_1,\ldots,x_n \geq 0$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립하는 최소의 상수 $C$를 구하라.\[\sum_{1\le i

주어진 양의 짝수 $n$에 대하여, $n\times n$ 정사각형 판을 생각하자. 이 판은 $n^2$개의 단위 정사각형으로 등분되어 있다. 이 판의 서로 다른 두개의 단위 정사각형이 공통인 변을 가지면, 두 단위 정사각형이 인접해 있다고 말한다. 이 판의 $N$개의 단위 정사각형에는 표시가 되어 있어, 이 판의 (표시된 또는 표시되지 않은) 모든 단위 정사각형이 적어도 하나의 표시된 단위 정사각형과 인접해 있다. 이 때 $N$이 취할 수 있는 최솟값을 구하라.

다음을 만족시키는 자연수의 순서쌍 $(n,p)$를 모두 구하라.

$p$는 소수이고, $n\leq 2p$ 이며, $(p-1)^n + 1$ 은 $n^{p-1}$으로 나누어진다.

두 개의 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$가 원 $\Gamma$의 안에 들어 있으면서,
서로 다른 두 점 $M$과 $N$에서 각각 $\Gamma$에 접한다. $\Gamma_1$은 $\Gamma_2$의 중심을 지난다. $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$의 두 교점을 지나는 직선은 $A$와 $B$에서 $\Gamma$와 만난다. 직선 $MA$와 $MB$는 $C$와 $D$에서 각각 $\Gamma_1$과 만난다.
이 때 선분 $CD$가 $\Gamma_2$에 접하는 것을 증명하라.

모든 $x, y\in \mathbb R$ 에 대하여 다음을 만족시키는 함수 $f:\mathbb R \to \mathbb R$을 모두 구하라.\[f(x-f(y))=f(f(y)) + x\,f(y)+f(x)-1\]