2000 국제수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

한국 대전

한국대표팀: 4위

  • 단장: 송용진 (인하대)
  • 부단장: 강현배 (서울대)
  • 대표학생: 김형준 (경기과고2, 은메달), 김홍식 (서울과고3, 은메달), 박영한 (경기과고3, 금메달), 성충엽 (부산과고3, 은메달), 이승협 (서울과고2, 금메달), 최서현 (서울과고3, 금메달)
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두 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$의 교점을 $M$, $N$이라 하자. $N$보다는 $M$에 가까운 쪽에 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$의 공통접선 $\ell$을 긋는다. $\ell$이 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$에 접하는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $M$을 지나고 $l$에 평행한 직선이 $\Gamma_1$과 만나는 점을 $C$, $\Gamma_2$와 만나는 점을 $D$라 하자. 두 직선 $CA$와 $DB$의 교점을 $E$, $AN$과 $CD$의 교점을 $P$, $BN$과 $CD$의 교점을 $Q$라 하자. $EP=EQ$ 임을 보여라.

$a$, $b$, $c$를 $abc=1$을 만족하는 양의 실수라 하자. 다음을 증명하여라.\[\Big(a-1+\dfrac{1}{b}\Big)\Big(b-1+\dfrac{1}{c}\Big)\Big(c-1+\dfrac{1}{a}\Big) \le 1 \]

$n \ge 2$인 자연수 $n$이 있다. $n$마리의 벼룩이 실수선 상에 있다. 모든 벼룩이 한 자리에 있지는 않다 하자. 어떤 양의 실수 $\lambda$에 대해 다음을 한 번의 이동이라 정의 하자.

벼룩들 중 두 마리 벼룩이 점 $A$, $B$에 있다 하자. 이 때 $A$는 $B$의 왼쪽에 있다. $A$에 있는 벼룩이 $B$의 오른쪽에 있는 점 $C$로 이동하되, $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$를 만족한다.

다음을 만족하는 양의 실수 $\lambda$를 모두 결정하여라 : 임의의 점 $M$에 대해, 처음에 $n$마리의 벼룩이 어떻게 놓여져 있든지 상관없이, 항상 이 벼룩들을 어떤 유한 번의 이동을 통해 $M$의 오른쪽으로 모두 옮겨가도록 할 수 있다.

마술사가 1부터 100까지 쓰인 카드 100장을 갖고 있다. 그는 빨간색, 하얀색, 파란색의 3개의 상자에 이 카드 모두를 넣되, 각 상자에 최소한 한 장 이상을 넣는다. 관객 중 한 명이 나와서 세 개의 상자 중 두 개를 골라 이 두 상자에서 한 장씩의 카드를 뽑아 이 두장의 카드에 쓰인 숫자의 합을 말한다. 이 합을 듣고 마술사는 세 상자 중 카드가 뽑히지 않은 상자를 밝힐 수 있다. 이 트릭이 항상 통할 수 있도록 카드 모두를 세 상자에 넣는 방법은 모두 몇 가지인가? (적어도 한 장의 카드가 다른 색의 상자에 넣어지는 경우는 서로 다른 경우로 친다.)

다음 성질을 만족하는 자연수 $n$이 존재하는지를 판정하여라.

$n$이 정확히 2000개의 서로 다른 소수로 나누어지고, $n$이 $2^n+1$을 나눈다.

예각삼각형 $ABC$에 대해 $H_1$, $H_2$, $H_3$를 각각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 마주보는 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발이라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원이 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $T_1$, $T_2$, $T_3$에서 접한다.세 직선 $H_2H_3$, $H_3H_1$, $H_1H_2$를 각각 직선 $T_2T_3$, $T_3T_1$, $T_1T_2$에 대해 대칭이동하여 얻은 직선을 $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$라 하자. $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$가 만나는 교점이 이루는 삼각형의 각 꼭짓점이 삼각형 $ABC$의 내접원 위에 놓임을 보여라.

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