2001 국제수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

미국 워싱턴DC

한국대표팀: 4위

  • 단장: 정순영 (서강대)
  • 부단장: 송용진 (인하대), 김명환 (서울대), 이승훈 (영동대)
  • 대표학생: 권수현 (부산과고3, 금메달), 김명섭 (경기과고2, 금메달), 김석원 (서울과고3, 은메달), 안주용 (인천과고3, 은메달), 장영준 (서울과고3, 은메달), 현윤석 (안양고3, 금메달)
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예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하고, 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $P$라 하자. $\angle BCA \geq \angle ABC + 30^{\circ}$라 가정하자. 이 때 $\angle CAB + \angle COP < 90^{\circ}$임을 증명하여라.

모든 양의 실수 $a,b,c$에 대하여 \[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} +\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1\]이 성립함을 보여라.

21명의 여학생과 21명의 남학생이 수학경시대회에 참가하였다.
(1) 각각의 학생은 많아야 여섯 문제를 풀었다.
(2) 임의의 여학생, 남학생 한 쌍은 적어도 하나의 같은 문제를 둘 다 풀었다.
이 때 적어도 세 명의 여학생과 적어도 세 명의 남학생 모두가 푼 문제가 존재함을 보여라.

홀수 $n$이 1보다 크다고 하고, 정수 $k_1,k_2,\dots, k_n$이 주어져 있다고 하자. $1,2,\dots,n$을 재배열한 $n!$개의 임의의 치환 $a=(a_1,a_2,\dots,a_n)$에 대하여 \[S(a)=\sum_{i=1}^n k_ia_i\]라 정의하자. 이 때 $n!$이 $S(b)-S( c)$의 약수가 되는 두 개의 치환 $b$와 $c$가 존재함을 보여라. 단, $b\ne c$이다.

삼각형 $ABC$서 $\angle BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $P$라 하고, $\angle ABC$의 이등분선이 변 $CA$와 만나는 점을 $Q$라 하자. $\angle BAC=60^{\circ}$이고 $\overline{AB}+\overline{BP}=\overline{AQ}+\overline{QB}$임이 알려져 있다고 하자. 이 때 삼각형 $ABC$의 가능한 세 각의 크기는 무엇인가?

정수 $a, b, c, d$가 $a>b>c>d>0$을 만족한다고 하자. \[ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)\]라 가정하자. 이 때 $ab+cd$가 소수가 아님을 증명하여라.

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