(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
영국 글래스고
한국대표팀: 6위
- 단장: 송용진 (인하대)
- 부단장: 이승훈 (영동대), 김명환 (서울대), 이준엽 (이화여대)
- 대표학생: 권영대 (전북과고3, 금메달), 김린기 (유성고3, 은메달), 민준철 (광주과고3, 은메달), 서인석 (서울과고2, 은메달), 이해강 (서울과고2, 은메달), 최경수 (유신고1, 은메달)
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$n$이 자연수라 하자. $T$는 좌표평면에서 $x + y < n$ 을 만족하는 음 아닌 정수좌표점 $(x,y)$들의 집합이다. $T$의 각 점이 빨강 또는 파랑으로 색칠되었다. 만일 한 점 $(x,y)$가 빨강이면, $x’ \le x$, $y’ \le y$ 인 모든 $T$의 점 $(x’,y’)$도 빨강이다. $X$-집합을 서로 다른 $x$-좌표를 갖는 $n$개의 파랑점들의 집합이라 하고, $Y$-집합을 서로 다른 $y$-좌표를 갖는 $n$개의 파랑점들의 집합이라 하자. $X$-집합의 개수는 $Y$-집합의 개수와 같음을 증명하여라.
중심이 $O$인 원 $\Gamma$의 한 지름을 $BC$라 하자. $\Gamma$ 위의 한 점 $A$가 $0^\circ < \angle AOB < 120^\circ$ 를 만족한다. $C$를 포함하지 않는 쪽의 호 $AB$의 중점을 $D$라 하자. $O$를 지나고 $DA$에 평행한 직선이 직선 $AC$와 $J$에서 만난다. $OA$의 수직이등분선이 원 $\Gamma$와 $E$, $F$에서 만난다. $J$가 삼각형 $CEF$의 내심임을 증명하여라.
다음 식\[ \frac{a^m + a – 1}{a^n + a^2 – 1}\]이 정수가 되게 하는 자연수 $a$가 무한히 많이 존재하기를 원한다. 이것을 만족하는 정수쌍 $m, n \ge 3$ 을 모두 구하여라.
$n$은 1보다 큰 정수이다. $n$의 양의 약수들을 $d_1, d_2, \ldots, d_k$라 하자. 단, $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ 이다. $D = d_1d_2 + d_2d_3 + \cdots + d_{k-1}d_k$ 로 정의하자.
(a) $D < n^2$ 임을 증명하여라.
(b) $D$가 $n^2$의 약수가 되는 $n$을 모두 결정하여라.
임의의 $x, y, z, t \in \mathbb{R}$ 에 대해 항상 \[ (f(x) + f(z))(f(y)+f(t)) = f(xy – zt) + f(xt + yz)\]를 만족하는 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 모두 구하여라. 단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.
$n \ge 3$ 일 때, $\Gamma_1, \Gamma_2, …, \Gamma_n$ 을 평면 위의 반지름이 1인 원들이라 하자. 이들의 중심을 각각 $O_1, O_2, …, O_n$로 두자. 어떤 직선도 이 원들 중 많아야 두 원과 만난다고 하자. \[ \sum_{1 \le i < j \le n} \frac1{O_iO_j} \le \frac{(n-1)\pi}4\]임을 증명하여라.