(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

카자흐스탄 아스타나

한국대표팀: 4위

• 단장: 송용진 (인하대)
• 부단장: 이승훈 (영동대), 김명환 (서울대), 문명호 (건국대)
• 대표학생: 김범수 (민족사관고2, 금메달), 박성기 (서울과고2, 은메달), 송상훈 (서울과고1, 금메달), 이상훈 (서울과고2, 금메달), 임준혁 (서울과고2, 은메달), 정준화 (서울과고2, 금메달)

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다음 등식을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$을 모두 구하여라: 모든 $x,y \in \mathbb{R}$에 대하여 \[ f([x]y)=f(x)[f(y)].\] 단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이고, 실수 $z$에 대하여 $[z]$는 $z$보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고, 외접원을 $\Gamma$라 하자. 직선 $AI$가 $\Gamma$와 만나는 점을 $D(\neq A)$라 하자. 원로 $BDC$ 위의 점 $E$와 변 $BC$ 위의 점 $F$가 조건 \[ \angle BAF=\angle CAE < \frac12 \angle BAC\]를 만족한다고 하자. 선분 $IF$의 중점을 $G$라 할 때, 직선 $DG$, $EI$와 원 $\Gamma$가 한 점에서 만남을 보여라.

다음 조건을 만족하는 함수 $g:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$을 모두 구하여라: 모든 $m,n \in \mathbb{N}$에 대하여 \[ (g(m)+n)(m+g(n))\]이 완전제곱수이다. 단, $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이다.

점 $P$가 삼각형 $ABC$의 내부에 놓여 있다. 세 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 삼각형 $ABC$의 외접원 $\Gamma$와 만나는 점을 각각 $K(\neq A)$, $L(\neq B)$, $M(\neq C)$이라 하자. 점 $C$에서 $\Gamma$에 접하는 접선과 직선 $AB$가 점 $S$에서 만난다고 하고, $SC=SP$라 가정하자. 이 때, $MK=ML$임을 보여라.

여섯 개의 동전함 $B_1, B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ 각각에 동전이 하나씩 들어 있다. 이 상태에서 시작하여 다음 두 가지 형태의 시행이 가능하다고 하자.
시행1: 동전이 들어 있는 동전함 $B_j$를 하나 택하여(단, $1 \le j \le 5$ ), $B_j$에서 동전을 하나 빼고 $B_{j+1}$에 두 개의 동전을 넣는다.
시행2: 동전이 들어 있는 동전함 $B_k$를 하나 택하여(단, $1\le k \le 4$), $B_k$에서 동전을 하나 빼고 두 동전함 $B_{k+1}$과 $B_{k+2}$에 들어 있는 동전들을 모두(동전이 없는 경우에도) 서로 바꾸어 넣는다.
이러한 시행을 유한 번 시행하여 동전함 $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$는 다 비우고, $B_6$에는 정확히 $2010^{2010^{2010}}$개의 동전이 포함되도록 할 수 있는가? (단, $a^{b^c}=a^{(b^c)}$이다.)

양의 실수들로 이루어진 무한수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$을 생각하자. 어떤 양의 정수 $s$가 존재하여, 모든 $n>s$에 대하여 \[a_n=\max \{a_k+a_{n-k} | 1\le k \le n-1 \}\]를 만족한다고 하자. 이 때, 다음을 만족하는 양의 정수 $\ell$과 $N$이 존재함을 보여라: $\ell\le s $이고, 모든 $n \ge N$에 대하여 $a_n = a_\ell +a_{n-l}$이다.