제 53회. 2013년 7월 23일-24일. 콜롬비아 산타마르타. 하루 4시간 반, 3문제씩 이틀.
대한민국: 2위 (금: 31점 이상, 은: 24점 이상, 동: 15점 이상, 만점: 42점.)
| Contestant |
P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | Total | Rank | Award | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Abs. | Rel. | |||||||||
| Team results | 42 | 38 | 26 | 42 | 36 | 20 | 204 | 2 | 98.96% | G, G, G, G, G, S |
| 지은수 (서울과학고) | 7 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 | 41 | 1 | 100.00% | Gold medal |
| 김동률 (서울과학고) | 7 | 7 | 3 | 7 | 7 | 7 | 38 | 5 | 99.24% | Gold medal |
| 박성진 (서울과학고) | 7 | 7 | 6 | 7 | 7 | 1 | 35 | 10 | 98.29% | Gold medal |
| 지세현 (서울과학고) | 7 | 7 | 3 | 7 | 7 | 1 | 32 | 30 | 94.49% | Gold medal |
| 이종원 (민족사관고) | 7 | 7 | 0 | 7 | 7 | 4 | 32 | 30 | 94.49% | Gold medal |
| 강승연 (서울과학고) | 7 | 4 | 7 | 7 | 1 | 0 | 26 | 110 | 79.28% | Silver medal |
제54회 국제수학올림피아드 종합 2위 달성 (IMO, 7.18 ~ 7.28, 콜롬비아 산타마르타)
제54회 국제수학올림피아드(IMO)가 총 97개국 528명의 대표학생들이 참가한 가운데 7월 18일에서 28일까지 콜롬비아 산타마르타에서 개최되었다. 이 기간 중 시험은 7월 23일, 24일 양일간 치러졌으며, 채점은 25일~26일 이루어졌다. 이 대회에서 한국대표단은 종합점수 만점 252점 중 204점, 금메달 5개, 은메달 1개를 획득하여 종합 2위를 차지하였다. 또한 우리나라 대표학생 가운데 서울과학고 3학년 지은수 군(18)은 총 42점 만점에 41점으로 전체 참가학생 중 개인부문 공동 1위를 기록하였으며, 개인순위 10위안에 우리나라 학생이 3명(지은수 1위, 김동률 5위, 박성진 10위)이 포함되는 쾌거를 이루었다.
한국대표단
- 단장 : 송용진(인하대)
- 부단장 : 조철현(서울대), 김상현(KAIST), 김명환(서울대, IMOAB)
- 대표학생 : 강승연(서울과고 3), 김동률(서울과고 2), 박성진(서울과고 3),
이종원(민족사관고 3), 지세현(서울과고 3), 지은수(서울과고 3)
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임의의 두 양의 정수 $k$, $n$에 대하여, 다음의 성질을 만족하는 (서로 다를 필요는 없는) $k$개의 양의 정수 $m_1$, $m_2$, $\ldots$, $m_k$가 존재함을 증명하여라:\[1+\frac{2^k−1}{n} =\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).\]
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
평면 위에 배치된 $4027$개의 점을 생각하자. 그 중 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않고, 전체가 $2013$개의 빨간점과 $2014$개의 파란점으로 이루어진 경우, 이러한 배치를 ‘콜럼비아식 배치’라고 하자. 평면 위에 직선들을 그어서 전체 평면을 여러 개의 영역으로 분할할 수 있다. 주어진 콜럼비아식 배치에 대하여 다음의 두 조건을 만족하는 직선들의 배열을 ‘좋은 배열’이라고 하자:
• 각 직선은 배치된 어떤 점도 지나지 않는다.
• 각 영역은 빨간점과 파란점을 함께 포함할 수 없다.
다음을 만족하는 $k$의 최솟값을 구하여라 : 어떠한 ($4027$개의 점으로 이루어진) 콜럼비아식 배치에 대하여도 $k$개의 직선으로 이루어진 좋은 배열이 존재한다.
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
삼각형 $ABC$에서 꼭지점 $A$의 맞은 편에 놓인 방접원이 변 $BC$에 접하는 점을 $A_1$이라 하자. 이와 비슷하게 꼭지점 $B$와 $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들을 이용하여, 변 $CA$ 위의 점 $B_1$과 변 $AB$위의 점 $C_1$을 정의하자. 삼각형 $A_1B_1C_1$의 외심이 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 놓여있다고 가정하자. 이때, 삼각형 $ABC$가 직각삼각형임을 증명하여라.
(여기서 꼭지점 $A$의 맞은편에 놓인 방접원이란 변 $BC$, 반직선 $AB$의 $B$를 지난 부분, 반직선 $AC$의 $C$를 지난 부분에 동시에 접하는 원을 뜻한다. 꼭지점 $B$, $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들도 비슷하게 정의한다.)
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
예각삼각형 $ABC$에 대하여, 점 $H$를 수심, 점$W$를 변 $BC$ 위의 한 점이라 하자. (단, $W\neq B,C$) 두 점 $M$, $N$을 각각 꼭지점 $B$, $C$에서 마주 보는 변에 내린 수선의 발이라고 하자. 삼각형 $BWN$의 외접원을 $\omega_1$이라 하고, $\omega_1$ 위의 점$X$를 선분 $WX$가 $\omega_1$의 지름이 되도록 하는 점이라 하자. 이와 비슷하게 삼각형 $CWM$의 외접원을 $\omega_2$라 하고, $\omega_2$ 위의 점 $Y$를 선분$WY$가 $\omega_2$의 지름이 되도록 하는 점이라 하자. 이때, 세 점 $X$, $Y$, $H$가 한 직선 위에 있음을 증명하여라.
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
모든 양의 유리수의 집합을 $\mathbb Q_{>0}$라 하자. 어떤 함수 $f:\mathbb Q_{>0} \to\mathbb{R}$가 다음의 세 조건을 모두 만족한다고 하자:
(i) 모든 $x,y \in\mathbb Q_{>0}$에 대하여, $f(x)f(y) \ge f(xy)$이다.
(ii) 모든 $x, y \in\mathbb Q_{>0}$에 대하여, $f (x + y)\ge f (x) + f (y)$이다.
(iii) $f(a) = a$를 만족하는 $1$보다 큰 유리수 $a$가 존재한다.
이때, 모든 $x \in \mathbb Q_{>0}$에 대하여 $f(x) = x$임을 증명하여라.
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
정수 $n$($\ge 3$)에 대하여, 원주 위에 등간격으로 놓여 있는 $n+1$개의 점을 생각하자. 이 점들에 정수 $0$, $1$, $\ldots$, $n$을 하나씩 배열한다. 한 배열을 회전시켜서 얻어지는 배열들은 모두 같은 배열로 간주한다. 어떤 배열이 다음 조건을 만족할 때, 그 배열을 ‘아름다운 원순열’이라 부르자:
(조건) $0 \le a\lt b\lt c\lt d\le n$이고 $a+d=b+c$인 임의의 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여, $a$와 $d$를 잇는 현과 $b$와 $c$를 잇는 현이 만나지 않는다.
아름다운 원순열의 개수를 $M$이라 하고, $x + y \le n$과 $\gcd(x, y) = 1$을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 $N$이라 할 때, 다음을 증명하여라:\[M = N + 1.\]
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)